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CHAPITRE 4. ANALYSE CONVEXE OPÉRATOIRE
Ainsi, f ∗ (s) est, au signe près, le résultat de la minimisation de f perturbée
par une forme linéaire continue s, ··.
Avec les hypothèses sur f faites dès le début, f ∗ n’est pas identiquement
égale à +∞ (en effet, f ∗ (s 0 ) < +∞ pour la pente s 0 de (4.24), et ne prend
jamais la valeur +∞). De plus, par définition-construction, f ∗ est toujours
une fonction convexe s.c.i. (pour la topologie σ (E ∗ , E)). Il suffit pour voir cela
d’écrire f comme le supremum d’une famille de fonctions affines continues
(sur E ∗ ) :
f
∗
= sup
x∈E
[·, x − f (x)] .
(4.27)
On se rappelle qu’avec la transformée de Fourier F f de f , on a F f (0) =
R n f (x) dx. Avec la transformée de Legendre-Fenchel, on a quelque chose
de similaire :
f
∗
(0) = − inf
x∈E
f (x).
(4.28)
3.2 Quelques exemples pour se familiariser avec le concept
• f : R → R définie par f (x) =
1
p |x| p , où p > 1.
Alors, en désignant par q le "réel conjugué de p", i.e. tel que
1
p +
1
q = 1,
f
∗
(s) =
1
q
|s|
q pour tout s ∈ R.
• f : R → R définie par f (x) = − ln x si x > 0, +∞ si x ≤ 0. Alors :
f
∗
(s) = − ln(−s) − 1 si s < 0, +∞ ailleurs.
• f : R → R définie par f (x) = e x . Alors :
f
∗
(s) = s ln s − s si s > 0, 0 si s = 0, +∞ si s < 0.
• f : R n → R définie par f (x) =
1
2 Ax, x, où A est supposée définie
positive. Alors, f ∗ a la même allure que f :
f
∗
(s) =
1
2
A
−1 s, s.
• Soit f la fonction indicatrice de la boule-unité fermée de E, f = i B(0,1) .
Alors, f ∗ (s) = sup
x≤1
s, x = s ∗ .