3. LA TRANSFORMATION DE LEGENDRE-FENCHEL
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• Soit K un convexe fermé d’un espace de Hilbert (H, ·, ··), soit K ◦ son
cône polaire (cf. § 3.1 du Chapitre 3). Considérons f = i K . Alors :
f
∗
= i K ◦ .
Avec deux des exemples au-dessus, on voit apparaître un "jeu de
bascule" :
A A −1 et K K ◦ . De là à penser que ( f ∗ ) ∗ = f , il y a un pas... que
nous ne pouvons franchir pour l’instant.
• Ce que vient faire Legendre dans cette affaire
Supposons f : H → R différentiable sur l’espace de Hilbert H . La
définition même de f ∗ (s) conduit à maximiser x → →s, x − f (x) sur H ,
donc à considérer la condition d’opimalité ∇ f (x) = s. Mettons-nous
dans une situation où cette équation a une et une seule solution, et ce pour
tout s ∈ H . La notation x = (∇ f ) −1 (s) a alors un sens. La transformée
de Legendre L f de f se trouve être définie par
(L f )(s) = =s, (∇ f )
−1
(s) − f ((∇ f )
−1
(s)).
(4.29)
Dans le cas où f est en outre convexe, résoudre l’équation ∇ f (x) = s
revient à résoudre le problème de la maximisation de x → →s, x − f (x)
sur H .
Donc, (L f )(s) exprimée dans (4.29) n’est autre que f ∗ (s).
Il est aisé d’illustrer (4.29) en considérant f : x ∈ R n → f (x) =
1
2 Ax, x, avec A définie positive.
La transformation de Legendre-Fenchel f f ∗ apparaît donc comme
une généralisation de la transformation de Legendre f L f telle que
définie en (4.29).
• Soit E = L p ((, A, μ) avec 1 < p < +∞, de sorte que E ∗ =
L q ((, A, μ), où
1
p +
1
q = 1. Lorsque J est définie sur E par
J (u) =
1
p
u(x)
p dμ(x),
il se trouve que J ∗ s’exprime sur E ∗ par
J
∗
(v) =
1
q
v(x)
q dμ(x).
Plus généralement, sous des hypothèses comme " f (x, ·) est convexe s.c.i.
pour tout x", plus des hypothèses légères (mais techniques) sur f , la "fonctionnelle intégrale" u ∈ L p → J (u) =
f (x, u(x)) dμ(x) a pour transformée de Legendre-Fenchel la fonction v ∈ L p →
f ∗ (x, v(x)) dμ(x)
[la transformation ϕ → ϕ ∗ passe à travers l’intégrale en quelque sorte].
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• Soit K un convexe fermé d’un espace de Hilbert (H, ·, ··), soit K ◦ son
cône polaire (cf. § 3.1 du Chapitre 3). Considérons f = i K . Alors :
f
∗
= i K ◦ .
Avec deux des exemples au-dessus, on voit apparaître un "jeu de
bascule" :
A A −1 et K K ◦ . De là à penser que ( f ∗ ) ∗ = f , il y a un pas... que
nous ne pouvons franchir pour l’instant.
• Ce que vient faire Legendre dans cette affaire
Supposons f : H → R différentiable sur l’espace de Hilbert H . La
définition même de f ∗ (s) conduit à maximiser x → →s, x − f (x) sur H ,
donc à considérer la condition d’opimalité ∇ f (x) = s. Mettons-nous
dans une situation où cette équation a une et une seule solution, et ce pour
tout s ∈ H . La notation x = (∇ f ) −1 (s) a alors un sens. La transformée
de Legendre L f de f se trouve être définie par
(L f )(s) = =s, (∇ f )
−1
(s) − f ((∇ f )
−1
(s)).
(4.29)
Dans le cas où f est en outre convexe, résoudre l’équation ∇ f (x) = s
revient à résoudre le problème de la maximisation de x → →s, x − f (x)
sur H .
Donc, (L f )(s) exprimée dans (4.29) n’est autre que f ∗ (s).
Il est aisé d’illustrer (4.29) en considérant f : x ∈ R n → f (x) =
1
2 Ax, x, avec A définie positive.
La transformation de Legendre-Fenchel f f ∗ apparaît donc comme
une généralisation de la transformation de Legendre f L f telle que
définie en (4.29).
• Soit E = L p ((, A, μ) avec 1 < p < +∞, de sorte que E ∗ =
L q ((, A, μ), où
1
p +
1
q = 1. Lorsque J est définie sur E par
J (u) =
1
p
u(x)
p dμ(x),
il se trouve que J ∗ s’exprime sur E ∗ par
J
∗
(v) =
1
q
v(x)
q dμ(x).
Plus généralement, sous des hypothèses comme " f (x, ·) est convexe s.c.i.
pour tout x", plus des hypothèses légères (mais techniques) sur f , la "fonctionnelle intégrale" u ∈ L p → J (u) =
f (x, u(x)) dμ(x) a pour transformée de Legendre-Fenchel la fonction v ∈ L p →
f ∗ (x, v(x)) dμ(x)
[la transformation ϕ → ϕ ∗ passe à travers l’intégrale en quelque sorte].