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CHAPITRE 4. ANALYSE CONVEXE OPÉRATOIRE
3.3 L’inégalité de Fenchel
L’inégalité suivante vient immédiatement de la définition-construction
de f ∗ (cf. Définition 4.1) :
Pour tout x ∈ E et s ∈ E
∗
, s, x ≤ f (x) + f
∗
(s).
(4.30)
Bien qu’élémentaire, cette inégalité est source de bien d’inégalités intéressantes de l’Analyse. À titre de premier exemple, avec f : x ∈ R n → f (x) =
1
2 Ax, x (A définie positive), elle conduit à :
Pour tout x, y dans R
n
, s, x ≤
1
2
Ax, x + +A
−1 s, s
.
Exercice (intéressant et facile)
Soit (H, ·, ··) un espace de Hilbert. Montrer que la fonction f =
1
2 · 2 est
la seule solution de l’équation f = f ∗ .
Il suffit pour cela de combiner l’inégalité de Fenchel avec celle qui reste
la plus importante en Analyse hilbertienne : l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Le résultat annoncé n’est pas sans rappeler que, pour ce qui concerne la
transformée de Fourier F f de fonctions f de la variable réelle, la seule
solution de l’équation F f = f est la fonction x → f (x) = e −x 2 .
3.4 La biconjugaison
Ayant défini f ∗ sur E ∗ , il est tentant de définir ( f ∗ ) ∗ (notée f ∗∗ ) sur E ∗∗ .
Nous ne considérerons que la restriction de f ∗∗ à E, en gardant la même
notation. On peut penser qu’on va retomber sur nos pieds, c’est-à-dire
avoir f ∗∗ = f , ce qui est sans espoir en général puisqu’une transformée
de Legendre-Fenchel est... toujours convexe. Le résultat qui suit, donné ici
sans démonstration, est fondamental dans ce contexte de biconjugaison.
Théorème 4.2 Soit f : E → R ∪ {+∞} non identiquement égale à +∞ et
minorée par une fonction affine continue. Alors :
(i) f ∗∗ ≤ f .
(ii) Si f est de plus convexe, alors f ∗∗ (x) = f (x) si et seulement si f est
s.c.i. en x. En particulier :
f = f
∗∗
⇔ ( f est convexe et s.c.i. sur E) .
CHAPITRE 4. ANALYSE CONVEXE OPÉRATOIRE
3.3 L’inégalité de Fenchel
L’inégalité suivante vient immédiatement de la définition-construction
de f ∗ (cf. Définition 4.1) :
Pour tout x ∈ E et s ∈ E
∗
, s, x ≤ f (x) + f
∗
(s).
(4.30)
Bien qu’élémentaire, cette inégalité est source de bien d’inégalités intéressantes de l’Analyse. À titre de premier exemple, avec f : x ∈ R n → f (x) =
1
2 Ax, x (A définie positive), elle conduit à :
Pour tout x, y dans R
n
, s, x ≤
1
2
Ax, x + +A
−1 s, s
.
Exercice (intéressant et facile)
Soit (H, ·, ··) un espace de Hilbert. Montrer que la fonction f =
1
2 · 2 est
la seule solution de l’équation f = f ∗ .
Il suffit pour cela de combiner l’inégalité de Fenchel avec celle qui reste
la plus importante en Analyse hilbertienne : l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Le résultat annoncé n’est pas sans rappeler que, pour ce qui concerne la
transformée de Fourier F f de fonctions f de la variable réelle, la seule
solution de l’équation F f = f est la fonction x → f (x) = e −x 2 .
3.4 La biconjugaison
Ayant défini f ∗ sur E ∗ , il est tentant de définir ( f ∗ ) ∗ (notée f ∗∗ ) sur E ∗∗ .
Nous ne considérerons que la restriction de f ∗∗ à E, en gardant la même
notation. On peut penser qu’on va retomber sur nos pieds, c’est-à-dire
avoir f ∗∗ = f , ce qui est sans espoir en général puisqu’une transformée
de Legendre-Fenchel est... toujours convexe. Le résultat qui suit, donné ici
sans démonstration, est fondamental dans ce contexte de biconjugaison.
Théorème 4.2 Soit f : E → R ∪ {+∞} non identiquement égale à +∞ et
minorée par une fonction affine continue. Alors :
(i) f ∗∗ ≤ f .
(ii) Si f est de plus convexe, alors f ∗∗ (x) = f (x) si et seulement si f est
s.c.i. en x. En particulier :
f = f
∗∗
⇔ ( f est convexe et s.c.i. sur E) .