3. LA TRANSFORMATION DE LEGENDRE-FENCHEL
99
(iii) En règle générale, f ∗∗ est la plus grande fonction convexe s.c.i. minorant f , celle dont l’épigraphe est co (epi f ) (laquelle fonction est
notée co f ). En clair :
f
∗∗
= co f.
Si H est un espace de Hilbert, la transformation (·)
∗ est une involution
sur 0 (H ) :
0 (H )
(·) ∗
−→
←−
(·) ∗
0 (H ).
Cette involution se manifeste dans les deux exemples de "jeu de bascule"
cités au § 3.2.
Nous n’étudierons pas davantage ici cette opération de "convexification fermée" d’une fonction car elle fera l’objet d’une attention particulière au § 1
du Chapitre 5.
3.5 Quelques règles de calcul typiques
Les fonctions ingrédients de base, à qui on appliquera une opération d’Analyse (et donc une règle de calcul sur les transformées de Legendre-Fenchel
correspondantes) seront supposées convexes et s.c.i. et non identiquement
égale à +∞, même si ça n’est pas toujours nécessaire pour la validité de la
règle de calcul.
• (R 1 )
( f g)
∗
= f
∗
+ g
∗
.
(4.31)
• (R 2 )
( f + g)
∗
= f
∗ g
∗
(4.32)
... pas tout à fait. Pour que (4.32) soit assurée, il faut une condition liant
f et g. Il y a une multitude d’exemples de telles conditions, toutes les unes
plus fines (et élégantes) que les autres. Nous nous contentons ici d’une
seule : il existe un point en lequel f et g sont finies et f est continue.
Ainsi, quand tout se passe bien, les opérations "+" et " " sont duales l’une
de l’autre.
• (R 3 )
inf
i∈I
f i
∗
= sup
i∈I
f
∗
i .
(4.33)
99
(iii) En règle générale, f ∗∗ est la plus grande fonction convexe s.c.i. minorant f , celle dont l’épigraphe est co (epi f ) (laquelle fonction est
notée co f ). En clair :
f
∗∗
= co f.
Si H est un espace de Hilbert, la transformation (·)
∗ est une involution
sur 0 (H ) :
0 (H )
(·) ∗
−→
←−
(·) ∗
0 (H ).
Cette involution se manifeste dans les deux exemples de "jeu de bascule"
cités au § 3.2.
Nous n’étudierons pas davantage ici cette opération de "convexification fermée" d’une fonction car elle fera l’objet d’une attention particulière au § 1
du Chapitre 5.
3.5 Quelques règles de calcul typiques
Les fonctions ingrédients de base, à qui on appliquera une opération d’Analyse (et donc une règle de calcul sur les transformées de Legendre-Fenchel
correspondantes) seront supposées convexes et s.c.i. et non identiquement
égale à +∞, même si ça n’est pas toujours nécessaire pour la validité de la
règle de calcul.
• (R 1 )
( f g)
∗
= f
∗
+ g
∗
.
(4.31)
• (R 2 )
( f + g)
∗
= f
∗ g
∗
(4.32)
... pas tout à fait. Pour que (4.32) soit assurée, il faut une condition liant
f et g. Il y a une multitude d’exemples de telles conditions, toutes les unes
plus fines (et élégantes) que les autres. Nous nous contentons ici d’une
seule : il existe un point en lequel f et g sont finies et f est continue.
Ainsi, quand tout se passe bien, les opérations "+" et " " sont duales l’une
de l’autre.
• (R 3 )
inf
i∈I
f i
∗
= sup
i∈I
f
∗
i .
(4.33)