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CHAPITRE 4. ANALYSE CONVEXE OPÉRATOIRE
• (R 4 ) La transformation (·)
∗ ne sait pas discerner tout ce qui est entre f
et co f ; c’est-à-dire :
(co f ≤ g ≤ f ) ⇒
g
∗
= f
∗
.
(4.34)
• (R 5 )
sup
i∈I
f i
∗
= co
inf
i∈I
f i
∗
.
Pour terminer ce paragraphe, signalons un résultat très récent qui indique
que la transformation de Legendre-Fenchel est, à peu de choses près, la seule
involution de 0 (R n ) qui inverse l’ordre entre fonctions.
Théorème 4.3 ([AM]) Soit T : 0 (R n ) → 0 (R n ) une transformation
vérifiant :
(i) T ◦ T = T
et
(ii) ( f ≤ g) ⇒ (T f ≥ T g) .
Alors, T est essentiellement la transformation de Legendre-Fenchel, c’est-àdire : il existe A ∈ L (R n ) inversible, s 0 ∈ R n et r 0 ∈ R tels que
(T f )(x) = f
∗
(A x + s 0 ) + +s 0 , x + r 0 pour tout x ∈ R
n
.
4 Le sous-différentiel d’une fonction
4.1 Définition et premiers exemples
Définition 4.4 Soit f : E → R ∪ {+∞} et x un point en lequel f est finie
(c’est-à-dire x ∈ dom f ). On dit que s ∈ E ∗ est un sous-gradient de f en x
lorsque
f (y) ≥ f (x) + +s, y − x pour tout y ∈ E.
(4.35)
L’ensemble des sous-gradients de f en x est appelé le sous-différentiel de
f en x et est noté ∂ f (x).
La Définition 4.4 exprime que la fonction affine continue
y → →s, y + f (x) − −s, x,
de pente s, minore f sur E et coïncide avec elle en x. Autre manière de dire
les choses : s est un sous-gradient de f en x si, et seulement si, x est un
minimiseur de la fonction perturbée y → f (y) − −s, y sur E.