4. LE SOUS-DIFFÉRENTIEL D’UNE FONCTION
101
Les appellations sous-gradient ou sous-différentiel doivent faire penser que
ces concepts ont quelque chose à voir avec les objets du Calcul différentiel
mais qu’ils interviennent "par dessous les fonctions".
Si x /
∈ dom f , on convient de poser ∂ f (x) = ∅. Ainsi, nous avons défini une
multiapplication
∂ f : E ⇒ E
∗
.
Le graphisme ∂ peut surprendre ici car c’est celui des dérivées partielles de
fonctions de plusieurs variables. Mais il est entré dans les habitudes et les
confusions sont facilement évitées.
A priori, le sous-différentiel est défini pour n’importe quelle fonction, mais
nous verrons qu’il fonctionne bien essentiellement dans le cas les fonctions
convexes. Des généralisations du concept seront abordées au Chapitre 6.
Donnons quelques exemples.
• Soit f : X ∈ R → f (x) = |x|. Alors,
∂ f (x) = {−1} si x < 0 , {+1} si x > 0 et [−1, +1] si x = 0.
En parallèle de cette fonction, considérons g = i [−1,+1] (la fonction indicatrice de [−1, +1]). Alors,
∂g(x) = {0} si − 1 < x < +1 , R
− si x = −1 , R
+ si x = +1.
Les graphes de ces deux multiapplications sous-différentiels, ∂ f et ∂g,
tracés ci-dessous, sont à garder à l’esprit car ils sont dans une relation
particulière.
• Puisque f est autorisée à prendre la valeur +∞, profitons-en. Soit S une
partie non vide de E, soit x ∈ S. Alors, de par la Définition 4.4,
Fig. 4.1
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Les appellations sous-gradient ou sous-différentiel doivent faire penser que
ces concepts ont quelque chose à voir avec les objets du Calcul différentiel
mais qu’ils interviennent "par dessous les fonctions".
Si x /
∈ dom f , on convient de poser ∂ f (x) = ∅. Ainsi, nous avons défini une
multiapplication
∂ f : E ⇒ E
∗
.
Le graphisme ∂ peut surprendre ici car c’est celui des dérivées partielles de
fonctions de plusieurs variables. Mais il est entré dans les habitudes et les
confusions sont facilement évitées.
A priori, le sous-différentiel est défini pour n’importe quelle fonction, mais
nous verrons qu’il fonctionne bien essentiellement dans le cas les fonctions
convexes. Des généralisations du concept seront abordées au Chapitre 6.
Donnons quelques exemples.
• Soit f : X ∈ R → f (x) = |x|. Alors,
∂ f (x) = {−1} si x < 0 , {+1} si x > 0 et [−1, +1] si x = 0.
En parallèle de cette fonction, considérons g = i [−1,+1] (la fonction indicatrice de [−1, +1]). Alors,
∂g(x) = {0} si − 1 < x < +1 , R
− si x = −1 , R
+ si x = +1.
Les graphes de ces deux multiapplications sous-différentiels, ∂ f et ∂g,
tracés ci-dessous, sont à garder à l’esprit car ils sont dans une relation
particulière.
• Puisque f est autorisée à prendre la valeur +∞, profitons-en. Soit S une
partie non vide de E, soit x ∈ S. Alors, de par la Définition 4.4,
Fig. 4.1