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CHAPITRE 4. ANALYSE CONVEXE OPÉRATOIRE
s ∈ ∂(i S )(x) ⇔ ⇔s, y − x ≤ 0 pour tout y ∈ S.
(4.36)
L’ensemble ∂(i S )(x) est appelé cône normal à S en x, il est désormais noté N (S, x) (ou N S (x)). La signification géométrique de l’inégalité présente dans (4.36) est claire : s fait un "angle obtus" avec tout
vecteur y − x s’appuyant sur y ∈ S. Quelques petits dessins dans le plan
s.v.p. !
• Soit (H, ·, ··) un espace de Hilbert, soit S une partie fermée non vide de H .
Considérons à nouveau la fameuse fonction ϕ S abordée au Chapitre 2 (cf.
page 43) :
ϕ S : x ∈ H → ϕ S =
1
2
x
2
− d
2
S (x)
.
La fonction ϕ S est toujours convexe et un exercice pas difficile et
intéressant consiste à démontrer l’inclusion générale suivante :
co P S (x) ⊂ ∂ϕ S (x) pour tout x ∈ H.
(4.37)
Dans le cas plus spécifique où S est convexe, il a été observé (Proposition 3.2 du Chapitre 3) que ϕ S est différentiable sur H , avec
∂ϕ S (x) = {∇ϕ S (x)} = { p S (x)} pour tout x ∈ H.
(4.38)
4.2 Propriétés basiques du sous-différentiel
• Lien géométrique avec l’épigraphe de f . On a :
s ∈ ∂ f (x)
⇔
(s, −1) ∈ E ∗ × R est normal `
a epi f
en (x, f (x)) ∈ E × R, i.e. (s, −1) ∈ N epi f (x, f (x))
.
• Lien avec la transformation de Legendre-Fenchel (§ 3). On a :
s ∈ ∂ f (x)
⇔
f ∗ (s) + f (x) = =s, x
⇔
f ∗ (s) + f (x) ≥ ≥s, x
.
(4.39)
En clair, il y a égalité dans l’inégalité de Fenchel (cf. (4.30)) exactement
lorsque s ∈ ∂ f (x).
• Pourvu qu’il y ait coïncidence des valeurs en x, la sous-différentiation ne
sait pas discerner tout ce qui est entre f et co f :
co f ≤ g ≤ f et f (x) = g(x)
⇒
∂ f (x) = ∂g(x)
.
(4.40)