4. LE SOUS-DIFFÉRENTIEL D’UNE FONCTION
103
•
Si ∂ f (x) = ∅, alors co f et f coïncident en x.
(4.41)
•
Si s ∈ ∂ f (x), alors x ∈ ∂ f
∗
(s).
(4.42)
• Supposons que l’espace sous-jacent soit un espace de Hilbert (H, ·, ··).
Alors, 0 = s ∈ ∂ f (x) est toujours une "direction de montée", c’est-à-dire :
f (x + t s) ≥ f (x) + t s
2
> f (x) pour tout t > 0.
(4.43)
Mais −s n’est pas toujours une "direction de descente" ; cela fait une
(grande) différence avec le cas des fonctions différentiables.
Donnons à présent des propriétés plus qualitatives, dont les démonstrations
sont moins immédiates que celles des propriétés énoncées au-dessus.
• On a :
∂ f (x) est une partie convexe σ (E
∗
, E)-ferm´ ee (de E
∗
).
(4.44)
• Si f : E → R ∪ {+∞} est convexe s.c.i. et finie en un point ( f ∈ 0 (E)
en bref), alors on a le "jeu de bascule" suivant :
s ∈ ∂ f (x)
⇔
x ∈ ∂ f
∗
(s)
.
(4.45)
Géométriquement, cela signifie que les graphes des multiapplications ∂ f
et ∂ f ∗ sont "inverses" l’un de l’autre :
(x, s) ∈ graphe de ∂ f ⇔ (s, x) ∈ graphe de ∂ f
∗
.
C’est le moment de revoir l’exemple qui a conduit à la Figure 4.1 : la
fonction g n’y est autre que f ∗ .
• Si f est Gâteaux-différentiable en x, alors de deux choses l’une : soit ∂ f (x)
est vide, soit ∂ f (x) = {D G f (x)} (dans ce dernier cas, co f coïncide
avec f en x, y est Gâteaux-différentiable et D G (co f )(x) = D G f (x)).
• Si f est convexe et x ∈ dom f , la limite suivante existe pour tout d ∈ E,
f
(x, d) = lim
t→0 +
f (x + t d) − f (x)
t
(∈ R ∪ {−∞, +∞})
= inf
t>0
f (x + t d) − f (x)
t
,
(4.46)
avec
s ∈ ∂ f (x) ⇔ ⇔s, d ≤ f
(x, d) pour tout d ∈ E.
(4.47)