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CHAPITRE 4. ANALYSE CONVEXE OPÉRATOIRE
Cette limite f (x, d) s’appelle la dérivée directionnelle de f en x dans la
direction d.
• Si f est convexe et continue en x (∈ dom f ), alors ∂ f (x) est une partie
convexe σ (E ∗ , E)-compacte non vide (de E ∗ ). De plus, f (x, ·) est la
fonction d’appui de ∂ f (x) (cf. page 89) :
f
(x, d) = sup
s∈∂ f (x)
s, d pour tout d ∈ E.
(4.48)
• La multiapplication ∂ f : E ⇒ E ∗ est monotone (croissante), c’est-à-dire
vérifie 1 :
s 1 ∈ ∂ f (x 1 ) et s 2 ∈ ∂ f (x 2 )
⇒
s 1 − s 2 , x 1 − x 2 ≥ 0
. (4.49)
Cela résulte immédiatement de l’inégalité (4.35) écrite avec x = x 1
et y = x 2 , puis avec x = x 2 et y = x 1 . En fait, on a mieux, ce que
nous explicitons succinctement pour f ∈ 0 (R n ).
Soit x 1 , . . . , x k k points, s 1 , . . . , s k k sous-gradients de f , avec s i ∈
∂ f (x i ) pour tout i = 1, . . . , k. Alors, l’inégalité qui suit vient facilement
de (4.49) :
k
i=1
s i , x i+1 − x i ≤ 0,
(4.50)
en convenant que x k+1 = x 1 (on reboucle sur le point de départ, en un
"cycle" x 1 , · · · , x k ). On dit que la multiapplication ∂ f est cycliquement
monotone.
Fig. 4.2
La multiapplication dont le graphe est représenté à la Figure 4.2 est
cycliquement monotone. Mais on peut la "compléter", i.e., "remplir les
sauts", pour en faire le graphe d’un sous-différentiel.
1 Lorsque l’inégalité est dans l’autre sens, s 1 − s 2 , x 1 − x 2 ≤ 0, on parle de multiapplication
monotone décroissante ou, plutôt, dissipative.
CHAPITRE 4. ANALYSE CONVEXE OPÉRATOIRE
Cette limite f (x, d) s’appelle la dérivée directionnelle de f en x dans la
direction d.
• Si f est convexe et continue en x (∈ dom f ), alors ∂ f (x) est une partie
convexe σ (E ∗ , E)-compacte non vide (de E ∗ ). De plus, f (x, ·) est la
fonction d’appui de ∂ f (x) (cf. page 89) :
f
(x, d) = sup
s∈∂ f (x)
s, d pour tout d ∈ E.
(4.48)
• La multiapplication ∂ f : E ⇒ E ∗ est monotone (croissante), c’est-à-dire
vérifie 1 :
s 1 ∈ ∂ f (x 1 ) et s 2 ∈ ∂ f (x 2 )
⇒
s 1 − s 2 , x 1 − x 2 ≥ 0
. (4.49)
Cela résulte immédiatement de l’inégalité (4.35) écrite avec x = x 1
et y = x 2 , puis avec x = x 2 et y = x 1 . En fait, on a mieux, ce que
nous explicitons succinctement pour f ∈ 0 (R n ).
Soit x 1 , . . . , x k k points, s 1 , . . . , s k k sous-gradients de f , avec s i ∈
∂ f (x i ) pour tout i = 1, . . . , k. Alors, l’inégalité qui suit vient facilement
de (4.49) :
k
i=1
s i , x i+1 − x i ≤ 0,
(4.50)
en convenant que x k+1 = x 1 (on reboucle sur le point de départ, en un
"cycle" x 1 , · · · , x k ). On dit que la multiapplication ∂ f est cycliquement
monotone.
Fig. 4.2
La multiapplication dont le graphe est représenté à la Figure 4.2 est
cycliquement monotone. Mais on peut la "compléter", i.e., "remplir les
sauts", pour en faire le graphe d’un sous-différentiel.
1 Lorsque l’inégalité est dans l’autre sens, s 1 − s 2 , x 1 − x 2 ≤ 0, on parle de multiapplication
monotone décroissante ou, plutôt, dissipative.