4. LE SOUS-DIFFÉRENTIEL D’UNE FONCTION
105
La multiapplication ∂ f se trouve être maximale, au sens suivant : son
graphe ne peut être strictement contenu dans le graphe d’une autre multiapplication monotone. Plus intéressante est la réciproque, et donc la
caractérisation que voici, due à R.T. Rockafellar (cf. [R]) : une multiapplication G : R n ⇒ R n est le graphe du sous-différentiel d’une
fonction f ∈ 0 (R n ) si, et seulement si, elle est cycliquement monotone
et maximale.
• Lorsque f ∈ 0 (R n ), le graphe de ∂ f : R n ⇒ R n est véritablement
"une pelure d’oignon". Ce que nous allons préciser s’applique notamment aux gradients ∇ f : R n → R n de fonctions convexes différentiables.
Non seulement ∂ f (x) est réduit à un singleton pour presque tout x (en
tous les x où f est différentiable), mais ∂ f jouit d’une "différentiabilité"
presque partout.
Nous disons que ∂ f est différentiable en x 0 si f est différentiable en x 0
et s’il existe une A ∈ M n (R) telle que
∂ f (x) − ∇ f (x 0 ) − A(x − x 0 ) = o (x − x 0 ),
(4.51)
c’est-à-dire :
∀ η > 0, ∃ δ > 0 tel que
∀ x v´ erifiant x − x 0 ≤ δ, ∀s ∈ ∂ f (x), on ait
s − ∇ f (x 0 ) − A(x − x 0 ) ≤ η x − x 0 .
D’ailleurs, A se trouve être alors symétrique semidéfinie positive. Le
résultat suivant, dû à F. Mignot (1976), précise ce que nous annoncions :
La multiapplication ∂ f est diff ´
erentiable presque partout.
(4.52)
D’un point de vue géométrique, le graphe de ∂ f peut être vu, au voisinage
de chacun de ses points, comme le graphe d’une fonction lipschitzienne.
4.3 Quelques règles de calcul typiques
Comme pour les règles de calcul basiques concernant les transformées de
Legendre-Fenchel (cf. 3.5), nous supposons que les fonctions ingrédients de
base sont convexes s.c.i. et non identiquement égales à +∞, même si ça n’est
pas toujours impératif pour la validité de la règle de calcul.
• Addition
(S 1 )
∂(f + g)(x) = ∂ f (x) + ∂g(x)
(4.53)
105
La multiapplication ∂ f se trouve être maximale, au sens suivant : son
graphe ne peut être strictement contenu dans le graphe d’une autre multiapplication monotone. Plus intéressante est la réciproque, et donc la
caractérisation que voici, due à R.T. Rockafellar (cf. [R]) : une multiapplication G : R n ⇒ R n est le graphe du sous-différentiel d’une
fonction f ∈ 0 (R n ) si, et seulement si, elle est cycliquement monotone
et maximale.
• Lorsque f ∈ 0 (R n ), le graphe de ∂ f : R n ⇒ R n est véritablement
"une pelure d’oignon". Ce que nous allons préciser s’applique notamment aux gradients ∇ f : R n → R n de fonctions convexes différentiables.
Non seulement ∂ f (x) est réduit à un singleton pour presque tout x (en
tous les x où f est différentiable), mais ∂ f jouit d’une "différentiabilité"
presque partout.
Nous disons que ∂ f est différentiable en x 0 si f est différentiable en x 0
et s’il existe une A ∈ M n (R) telle que
∂ f (x) − ∇ f (x 0 ) − A(x − x 0 ) = o (x − x 0 ),
(4.51)
c’est-à-dire :
∀ η > 0, ∃ δ > 0 tel que
∀ x v´ erifiant x − x 0 ≤ δ, ∀s ∈ ∂ f (x), on ait
s − ∇ f (x 0 ) − A(x − x 0 ) ≤ η x − x 0 .
D’ailleurs, A se trouve être alors symétrique semidéfinie positive. Le
résultat suivant, dû à F. Mignot (1976), précise ce que nous annoncions :
La multiapplication ∂ f est diff ´
erentiable presque partout.
(4.52)
D’un point de vue géométrique, le graphe de ∂ f peut être vu, au voisinage
de chacun de ses points, comme le graphe d’une fonction lipschitzienne.
4.3 Quelques règles de calcul typiques
Comme pour les règles de calcul basiques concernant les transformées de
Legendre-Fenchel (cf. 3.5), nous supposons que les fonctions ingrédients de
base sont convexes s.c.i. et non identiquement égales à +∞, même si ça n’est
pas toujours impératif pour la validité de la règle de calcul.
• Addition
(S 1 )
∂(f + g)(x) = ∂ f (x) + ∂g(x)
(4.53)