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CHAPITRE 4. ANALYSE CONVEXE OPÉRATOIRE
... pas tout à fait. Pour assurer (4.53), il faut une condition liant f et g. Nous
donnons ici un exemple de telle condition : il existe un point ˜
x en lequel f
et g sont finies et f est continue.
Attention (piège dans lequel pourrait tomber un lecteur-étudiant) ! Ce n’est
pas en ce point ˜
x que la règle de calcul (4.53) est (seulement) valable mais
bien en tout point x (où f et g sont toutes les deux finies, car ailleurs la
formule (4.53) est sans intérêt).
Ainsi, si f ∈ 0 (E) est finie et continue en un point du convexe fermé C
de E,
∂( f + i C )(x) = ∂ f (x) + ∂(i C )(x)
(4.54)
= ∂ f (x) + N (C, x) en tout point x ∈ C ∩ dom f.
• Post-composition par une application linéaire continue
Considérons la situation suivante :
Alors :
(S 2 )
∂(f ◦ A)(x) = A ∗ (∂ f (Ax))
(4.55)
... pas tout à fait. Pour assurer (4.55), il faut une condition liant f et A. Il y en
a une multitude, en voici une : il existe un point ˜
y ∈ Im A en lequel f est finie
et continue. Moyennant quoi la formule (4.55) est valide pour tout x ∈ E.
La formule (4.55) était attendue car c’est celle connue dans le calcul différentiel usuel. En voici deux autres, plus spécifiques au contexte dans lequel
nous évoluons dans ce chapitre.
• Inf-convolution
Soit x ∈ E. On suppose que l’inf-convolution de f et g est exacte en x,
c’est-à-dire qu’il existe ¯
x 1 et ¯
x 2 dans E, de somme x, tels que ( f g)(x) =
f ( ¯
x 1 ) + g( ¯
x 2 ). Alors,
(S 3 )
∂(f g)(x) = ∂ f ( ¯
x 1 ) ∩ ∂g( ¯
x 2 ).
(4.56)
Faisons-en la démonstration, car elle est typique de ce qu’on peut faire en
pareille situation.
D’après la caractérisation (4.39),
s ∈ ∂( f g)(x) ⇔ ( f g)
∗
(s) + ( f g)(x) − −s, x = 0.
(4.57)
Or, ( f g) ∗ (s) = f ∗ (s) + g ∗ (s) (voir (R 1 ) dans § 3.5) et ( f g)(x) =
f ( ¯
x 1 ) + g( ¯
x 2 ). En découplant s, x en s, ¯
x 1 + +s, ¯
x 2 , la relation dans le
CHAPITRE 4. ANALYSE CONVEXE OPÉRATOIRE
... pas tout à fait. Pour assurer (4.53), il faut une condition liant f et g. Nous
donnons ici un exemple de telle condition : il existe un point ˜
x en lequel f
et g sont finies et f est continue.
Attention (piège dans lequel pourrait tomber un lecteur-étudiant) ! Ce n’est
pas en ce point ˜
x que la règle de calcul (4.53) est (seulement) valable mais
bien en tout point x (où f et g sont toutes les deux finies, car ailleurs la
formule (4.53) est sans intérêt).
Ainsi, si f ∈ 0 (E) est finie et continue en un point du convexe fermé C
de E,
∂( f + i C )(x) = ∂ f (x) + ∂(i C )(x)
(4.54)
= ∂ f (x) + N (C, x) en tout point x ∈ C ∩ dom f.
• Post-composition par une application linéaire continue
Considérons la situation suivante :
Alors :
(S 2 )
∂(f ◦ A)(x) = A ∗ (∂ f (Ax))
(4.55)
... pas tout à fait. Pour assurer (4.55), il faut une condition liant f et A. Il y en
a une multitude, en voici une : il existe un point ˜
y ∈ Im A en lequel f est finie
et continue. Moyennant quoi la formule (4.55) est valide pour tout x ∈ E.
La formule (4.55) était attendue car c’est celle connue dans le calcul différentiel usuel. En voici deux autres, plus spécifiques au contexte dans lequel
nous évoluons dans ce chapitre.
• Inf-convolution
Soit x ∈ E. On suppose que l’inf-convolution de f et g est exacte en x,
c’est-à-dire qu’il existe ¯
x 1 et ¯
x 2 dans E, de somme x, tels que ( f g)(x) =
f ( ¯
x 1 ) + g( ¯
x 2 ). Alors,
(S 3 )
∂(f g)(x) = ∂ f ( ¯
x 1 ) ∩ ∂g( ¯
x 2 ).
(4.56)
Faisons-en la démonstration, car elle est typique de ce qu’on peut faire en
pareille situation.
D’après la caractérisation (4.39),
s ∈ ∂( f g)(x) ⇔ ( f g)
∗
(s) + ( f g)(x) − −s, x = 0.
(4.57)
Or, ( f g) ∗ (s) = f ∗ (s) + g ∗ (s) (voir (R 1 ) dans § 3.5) et ( f g)(x) =
f ( ¯
x 1 ) + g( ¯
x 2 ). En découplant s, x en s, ¯
x 1 + +s, ¯
x 2 , la relation dans le