4. LE SOUS-DIFFÉRENTIEL D’UNE FONCTION
107
membre de droite de (4.57) s’écrit
f
∗
(s) + f ( ¯
x 1 ) − −s, ¯
x 1
+
g
∗
(s) + g( ¯
x 2 ) − −s, ¯
x 2
= 0.
(4.58)
Chacune des deux expressions entre crochets est ≥ 0 (c’est l’inégalité (4.30)
de Fenchel) ; donc l’égalité de (4.58) ne peut se produire que si, et seulement
si, on a simultanément
f ∗ (s) + f ( ¯
x 1 ) − −s, ¯
x 1 = 0
et g ∗ (s) + g( ¯
x 2 ) − −s, ¯
x 2 = 0.
Et, faisant appel à nouveau à la caractérisation (4.39), ce qui est au-dessus
dit exactement que s ∈ ∂ f ( ¯
x 1 ) et s ∈ ∂g( ¯
x 2 ).
Revenons rapidement sur le deuxième exemple de la page 93 (résistances généralisées mises en parallèle). La "relation à l’optimum" (4.21) n’est autre que
∇ p (I ) = ∇ p ( ¯
I 1 ) = ∇ p ( ¯
I 2 ),
illustration de la règle (S 3 ).
Une autre conséquence de la règle (S 3 ) est que si g est (convexe et) différentiable, c’est-à-dire si ∂g( ¯
x 2 ) = {Dg( ¯
x 2 )}, alors la convolée de f (convexe)
avec g se trouve être (convexe et) différentiable. C’est justement cet effet
régularisant par convolution avec la fonction (convexe) différentiable
r
2 · 2
qu’on utilise dans l’approximation-régularisation de Moreau-Yosida (voir
Problème en fin de chapitre).
• Passage au supremum
Pouvoir exprimer ∂(sup
i∈I
f i )(x) en fonction de ∂ f i (x) est un problème difficile,
auquel ont contribué beaucoup d’auteurs. Les difficultés viennent du fait
que I peut être un ensemble infini d’indices, que les f i peuvent prendre la
valeur +∞, et qu’il faut contrôler la dépendance de f i (x) comme fonction
de i. Nous énonçons ici un seul résultat, dans un contexte simplifié certes,
mais illustrant bien la construction du sous-différentiel dans le passage au sup
d’une famille de fonctions convexes.
Soit f 1 , . . . , f k : E → R des fonctions convexes continues sur E, soit f :=
max( f 1 , . . . , f k ). Alors,
(S 4 )
∂f (x) = co {∂ f i (x) | i ∈ I (x)},
(4.59)
où I (x) = {i | f i (x) = f (x)}. Bref, on collecte et on convexifie l’ensemble
des sous-différentiels ∂ f i (x), "là où ça se touche en x" (lorsque f i (x) =
f (x)).
Les règles de calcul sur la somme et sur le sup d’une famille de fonctions
(convexes) sont assurément les plus importantes.
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membre de droite de (4.57) s’écrit
f
∗
(s) + f ( ¯
x 1 ) − −s, ¯
x 1
+
g
∗
(s) + g( ¯
x 2 ) − −s, ¯
x 2
= 0.
(4.58)
Chacune des deux expressions entre crochets est ≥ 0 (c’est l’inégalité (4.30)
de Fenchel) ; donc l’égalité de (4.58) ne peut se produire que si, et seulement
si, on a simultanément
f ∗ (s) + f ( ¯
x 1 ) − −s, ¯
x 1 = 0
et g ∗ (s) + g( ¯
x 2 ) − −s, ¯
x 2 = 0.
Et, faisant appel à nouveau à la caractérisation (4.39), ce qui est au-dessus
dit exactement que s ∈ ∂ f ( ¯
x 1 ) et s ∈ ∂g( ¯
x 2 ).
Revenons rapidement sur le deuxième exemple de la page 93 (résistances généralisées mises en parallèle). La "relation à l’optimum" (4.21) n’est autre que
∇ p (I ) = ∇ p ( ¯
I 1 ) = ∇ p ( ¯
I 2 ),
illustration de la règle (S 3 ).
Une autre conséquence de la règle (S 3 ) est que si g est (convexe et) différentiable, c’est-à-dire si ∂g( ¯
x 2 ) = {Dg( ¯
x 2 )}, alors la convolée de f (convexe)
avec g se trouve être (convexe et) différentiable. C’est justement cet effet
régularisant par convolution avec la fonction (convexe) différentiable
r
2 · 2
qu’on utilise dans l’approximation-régularisation de Moreau-Yosida (voir
Problème en fin de chapitre).
• Passage au supremum
Pouvoir exprimer ∂(sup
i∈I
f i )(x) en fonction de ∂ f i (x) est un problème difficile,
auquel ont contribué beaucoup d’auteurs. Les difficultés viennent du fait
que I peut être un ensemble infini d’indices, que les f i peuvent prendre la
valeur +∞, et qu’il faut contrôler la dépendance de f i (x) comme fonction
de i. Nous énonçons ici un seul résultat, dans un contexte simplifié certes,
mais illustrant bien la construction du sous-différentiel dans le passage au sup
d’une famille de fonctions convexes.
Soit f 1 , . . . , f k : E → R des fonctions convexes continues sur E, soit f :=
max( f 1 , . . . , f k ). Alors,
(S 4 )
∂f (x) = co {∂ f i (x) | i ∈ I (x)},
(4.59)
où I (x) = {i | f i (x) = f (x)}. Bref, on collecte et on convexifie l’ensemble
des sous-différentiels ∂ f i (x), "là où ça se touche en x" (lorsque f i (x) =
f (x)).
Les règles de calcul sur la somme et sur le sup d’une famille de fonctions
(convexes) sont assurément les plus importantes.