EXERCICES
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Exercice 3 (Interprétation des conditions nécessaires d’optimalité
à l’aide de la décomposition de Moreau)
On considère le problème d’optimisation suivant
(P)
Minimiser f (x)
sous les contraintes g i (x) ≤ 0 pour i = 1, . . . , m
,
où les fonctions f, g i : R n → R sont supposées toutes différentiables. On
désigne par S l’ensemble-contrainte de (P).
Les conditions nécessaires de minimalité du premier ordre, dites de KarushKuhn- Tucker, affirment ceci : sous une hypothèse de "qualification des
contraintes" (non précisée), si ¯
x ∈ S est un minimiseur local de f sur S,
alors il existe des réels μ 1 , μ 2 , . . . , μ m tels que :
(a) ∇ f ( ¯
x) +
m
i=1
μ i ∇g i ( ¯
x) = 0 ;
(b) (μ 1 , μ 2 , . . . , μ m ) ∈ R m
+ et
m
i=1
μ i g i ( ¯
x) = 0.
L’objet de l’exercice est d’interpréter "la condition de complémentarité" (b)
à l’aide de la décomposition de Moreau.
Pour (g 1 ( ¯
x), . . . , g m ( ¯
x)) ∈ R m et (μ 1 , μ 2 , . . . , μ m ) ∈ R m , montrer l’équivalence des trois assertions suivantes :
(1) (g 1 ( ¯
x), . . . , g m ( ¯
x)) ∈ R m
− , (μ 1 , μ 2 , . . . , μ m ) ∈ R m
+ et
m
i=1
μ i g i ( ¯
x) = 0 ;
(2)
(g 1 ( ¯
x), . . . , g m ( ¯
x)) + (μ 1 , μ 2 , . . . , μ m )
− = −(g 1 ( ¯
x), . . . , g m ( ¯
x)) ;
(3)
(g 1 ( ¯
x), . . . , g m ( ¯
x)) + (μ 1 , μ 2 , . . . , μ m )
+ = (μ 1 , μ 2 , . . . , μ m ).
Ici, [u] + (resp. [u] − ) désigne le vecteur partie positive (resp. le vecteur partie
négative) de u ∈ R m (attention aux signes !).
Exercice 4 (Autour des cônes convexes fermés et de leurs polaires)
Soit (H, ·, ··) un espace de Hilbert où ·, ·· désigne le produit scalaire. Soit K
un cône convexe fermé de H , on note K ◦ son cône polaire.
Pour x ∈ K , on note N (K , x) le cône normal à K en x.
1) Soit x ∈ K . Montrer
(y ∈ N (K , x)) ⇔
y ∈ K
◦ et y, x = 0
.
(3.32)