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CHAPITRE 3. PROJECTION SUR UN CONVEXE FERMÉ
pour lequel X est un espace de Hilbert, dont la norme associée est équivalenteà la norme usuelle de H 1 (]0, 1[). On considère le cône convexe K des
fonctions de H 1 (]0, 1[) qui sont positives, et on se propose de calculer son
cône polaire K ◦ . Soit g ∈ K ◦ et 0 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ 1.
1) Utilisant la fonction
f (x) =
⎧
⎨
⎩
1
s ix ≤ x 1
1 −
x−x 1
x 2 −x 1
si x 1 ≤ x ≤ x 2
0
s ix 2 ≤ x ≤ 1
,
montrer que g(0) ≤ g (x) p.p.
2) Utilisant la fonction
f (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
0
s ix ≤ x 1
x − x 1 si x 1 ≤ x ≤
x 1 +x 2
2
−x + x 2 si
x 1 +x 2
2
≤ x ≤ x 2
0
s ix 2 ≤ x ≤ 1
,
montrer que g est décroissante.
3) Utilisant la fonction
f (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
0
s ix ≤ x 1
x − x 1 si x 1 ≤ x ≤
x 1 +x 2
2
−x + x 2 si
x 1 +x 2
2
≤ x ≤ x 2
0
s ix 2 ≤ x ≤ 1
,
montrer que g est convexe. En déduire que
K
◦
⊂
g ∈ H
1
(]0, 1[) | g convexe et g(0) ≤ g
(x) ≤ 0 p.p.
.
4) On considère g ∈ H 1 (]0, 1[) convexe telle que g(0) ≤ g (x) ≤ 0 p.p.
On prolonge g en une fonction de L 1
loc (R) par 0 sur ]1, +∞[ et par g(0)
sur ]−∞, 0[, on considère pour h > 0 la régularisée par convolution (g ) h
et on pose :
g h (x) = g(0) +
x
0
(g
) h (t) dt.
Montrer que g(0) ≤ (g ) h (x) p.p. sur ]0, 1[, que g h est convexe. Calculer f, g h pour f ∈ K . En déduire que
K
◦
=
g ∈ H
1
(]0, 1[) | g convexe et g(0) ≤ g
(x) ≤ 0 p.p.
.