4. APPROXIMATION CONIQUE. D’UN CONVEXE
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Proposition 3.13 Soit ¯
x ∈ C. Alors, p C a en ¯
x une dérivée directionnelle
dans toute direction d ∈ H , et cette dérivée directionnelle est la projection
de d sur T (C, ¯
x). En clair,
lim
t→ 0 +
p C ( ¯
x + t d) − ¯
x
t
= p
C ( ¯
x, d) = p T (C, ¯
x) (d).
(3.31)
Cette propriété, très expressive géométriquement (faire un dessin !), est très
utilisée en Mécanique du contact (cf. page 79). Elle n’est pas très facile à
démontrer... Le tenter quand même ; sinon voir ([AHU], Exercice 94).
Une bizarrerie à signaler : si ¯
x ∈ C, même si on est en dimension finie, il
n’est pas assuré que p C ait une dérivée directionnelle en ¯
x !
Exercices
Exercice 1 (Variations sur les projections sur deux sous-espaces vectoriels fermés)
Soit H un espace de Hilbert et P une application linéaire continue de H dans
lui-même.
1) Montrer que P est idempotent et auto-adjoint (i.e. P 2 = P et P T = P)
si, et seulement si, P = p V pour un certain sous-espace vectoriel fermé
de H (on dira que "P est une projection orthogonale").
2) Soit à présent deux sous-espaces vectoriels fermés M et N de H . À l’aide
du résultat de la première question, montrer :
a) (P M ◦ P N est une projection orthogonale ) ⇔ (P M et P N commutent ).
Dans ce cas, P M ◦ P N = P M∩N .
b) (P M + P N est une projection orthogonale ) ⇔ (P M ◦ P N = 0 ).
Dans ce cas, P M + P N = P M+N .
c) Si P M et P N commutent, alors P M + P N − P M ◦ P N est une projection
orthogonale.
d) Si P M et P N commutent, alors P M + P N − 2 P M ◦ P N est une
projection orthogonale.
Exercice 2 (Calcul d’un cône polaire dans H 1 (]0, 1[))
On munit X = H 1 (]0, 1[) du produit scalaire
f, g = f (0) g(0) +
1
0
f (x) g(x) dx
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Proposition 3.13 Soit ¯
x ∈ C. Alors, p C a en ¯
x une dérivée directionnelle
dans toute direction d ∈ H , et cette dérivée directionnelle est la projection
de d sur T (C, ¯
x). En clair,
lim
t→ 0 +
p C ( ¯
x + t d) − ¯
x
t
= p
C ( ¯
x, d) = p T (C, ¯
x) (d).
(3.31)
Cette propriété, très expressive géométriquement (faire un dessin !), est très
utilisée en Mécanique du contact (cf. page 79). Elle n’est pas très facile à
démontrer... Le tenter quand même ; sinon voir ([AHU], Exercice 94).
Une bizarrerie à signaler : si ¯
x ∈ C, même si on est en dimension finie, il
n’est pas assuré que p C ait une dérivée directionnelle en ¯
x !
Exercices
Exercice 1 (Variations sur les projections sur deux sous-espaces vectoriels fermés)
Soit H un espace de Hilbert et P une application linéaire continue de H dans
lui-même.
1) Montrer que P est idempotent et auto-adjoint (i.e. P 2 = P et P T = P)
si, et seulement si, P = p V pour un certain sous-espace vectoriel fermé
de H (on dira que "P est une projection orthogonale").
2) Soit à présent deux sous-espaces vectoriels fermés M et N de H . À l’aide
du résultat de la première question, montrer :
a) (P M ◦ P N est une projection orthogonale ) ⇔ (P M et P N commutent ).
Dans ce cas, P M ◦ P N = P M∩N .
b) (P M + P N est une projection orthogonale ) ⇔ (P M ◦ P N = 0 ).
Dans ce cas, P M + P N = P M+N .
c) Si P M et P N commutent, alors P M + P N − P M ◦ P N est une projection
orthogonale.
d) Si P M et P N commutent, alors P M + P N − 2 P M ◦ P N est une
projection orthogonale.
Exercice 2 (Calcul d’un cône polaire dans H 1 (]0, 1[))
On munit X = H 1 (]0, 1[) du produit scalaire
f, g = f (0) g(0) +
1
0
f (x) g(x) dx