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CHAPITRE 3. PROJECTION SUR UN CONVEXE FERMÉ
4.2 Application aux conditions d’optimalité
Considérons le problème de minimisation suivant
(P)
Minimiser f (x)
x ∈ C,
où f : H → R est convexe différentiable, et C ⊂ H un convexe fermé. Avec
ce que nous avons vu, les conditions nécessaires et suffisantes d’optimalité
prennent plusieurs formes équivalentes, et faciles à démontrer.
Théorème 3.12 (conditions d’optimalité)
Soit ¯
x ∈ C. Il y a équivalence entre les assertions suivantes :
(i) ¯
x minimise f sur C.
(ii) ∇ f ( ¯
x), x − ¯
x ≥ 0 pour tout x ∈ C.
(iii) −∇ f ( ¯
x) ∈ [T (C, ¯
x)]
◦
= N (C, ¯
x) (ou bien 0 ∈ ∇ f ( ¯
x) + N (C, ¯
x)).
(iv) ¯
x = p C [ ¯
x − t ∇ f ( ¯
x)] pour tout t > 0.
(v) p T (C, ¯
x) (−∇ f ( ¯
x)) = 0.
(vi) ∇ f ( ¯
x), p T (C, ¯
x) (−∇ f ( ¯
x)) ≥ 0.
Un format un peu plus général que ce qui est exprimé en (ii) est le suivant :
Soit A : H → H un opérateur (pas forcément un gradient) ; trouver
alors ¯
x ∈ C tel que A( ¯
x), x − ¯
x ≥ 0 pour tout x ∈ C. Ce problème
est répertorié sous l’appellation d’inéquation variationnelle.
Terminons par une expression de la dérivée directionnelle de l’opérateur de
projection p C .