4. APPROXIMATION CONIQUE. D’UN CONVEXE
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Il est important de garder à l’esprit qu’en chaque point x de C (de Fr C
plus précisément), il y a deux cônes convexes fermés mutuellement
polaires qui entrent en jeu, et donc une décomposition de Moreau !
En x k ∈ C, une direction d k se décompose en deux directions orthogonales : une direction tangentielle d T
k et une direction normale d N
k . Ceci est
particulièrement utilisé en Mécanique de contact (problèmes de friction
(= science de la tribologie)).
Remarques
• Avec la caractérisation variationnelle du projeté de x sur C (cf. (3.5)), il
est facile de répondreà la question suivante :
Étant donné ¯
x ∈ C, qui se projette sur ¯
x ? Réponse : tous les points x
de ¯
x + N (C, ¯
x). In short,
∀ ¯
x ∈ C, (p C )
−1
( ¯
x) = ¯
x + N (C, ¯
x).
(3.30)
• Lorsque C est "représenté" d’une manière ou d’une autre, sous forme d’inégalités par exemple, des règles opératoires permettent d’exprimer T (C, x)
et N (C, x) à l’aide des données de représentation. En voici un exemple.
Supposons C représenté de la façon suivante :
C =
x ∈ H | g 1 (x) ≤ 0, . . . , g p (x) ≤ 0
,
où les g i : H → R sont des fonctions convexes continûment différentiables. On ajoute l’hypothèse, dite de Slater, que voici :
∃ ˜
x ∈ C tel que g i ( ˜
x) < 0 pour tout i = 1, . . . , p.
Prenons ¯
x ∈ C. Notation : I ( ¯
x) = {i | g i ( ¯
x) = 0} (ensemble des indices
des contraintes g i "actives" ou "saturées" en ¯
x). Alors on a :
T (C, ¯
x) =
d ∈ H | |∇g i ( ¯
x), d ≤ 0 pour tout i ∈ I ( ¯
x)
,
N (C, ¯
x) =
⎧
⎨
⎩
i∈ I ( ¯
x)
λ i ∇g i ( ¯
x) | λ i ≥ 0 pour tout i ∈ I ( ¯
x)
⎫
⎬
⎭
.