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CHAPITRE 3. PROJECTION SUR UN CONVEXE FERMÉ
(iv) On a :
d
C (x, d) = lim
t→ 0 +
d C (x + t d)
t
= 0.
(3.28)
L’ensemble des directions tangentes à C en x est appelé cône tangent à C
en x, et noté T (C, x) (ou bien T C (x)).
La formulation (3.25) de (i) est sans doute la plus parlante : d est dans le cône
convexe fermé engendré par C − x, d ∈ cone(C − x).
L’avantage des formulations (3.26) et (3.27) est qu’elles s’appliquent même
lorsque C n’est pas convexe.
C’est bien d’une dérivée directionnelle qu’il s’agit en (3.28) puisque d C (x) =
0.
L’équivalence entre les quatre formulations est aisée à démontrer ; cela est
laissé sous forme d’exercice.
Puisqu’il y a un cône convexe fermé T (C, x) en jeu, apparaît naturellement et
inévitablement son cône polaire [T (C, x)]
◦
=: N (C, x). Ce cône N (C, x),
appelé cône normal à C en x peut être défini, par exemple, de la manière
suivante :
Définition 3.11 Une direction ν ∈ H est dite normale à C en x ∈ C lorsque :
ν, c − x ≤ 0 pour tout c ∈ C.
(3.29)
Évidemment, si x ∈ int C, T (C, x) = H et N (C, x) = {0}.