4. APPROXIMATION CONIQUE. D’UN CONVEXE
77
4 Approximation conique d’un convexe. Application aux
conditions d’optimalité
4.1 Le cône tangent
Lorsque f : H → R est (F-)différentiable en x ∈ H , son approximation
linéaire au voisinage de ce point est donnée par
f (x + h) ≈ f (x) + +∇ f (x), h.
(3.23)
Lorsqu’il s’agit d’approcher un convexe fermé C au voisinage d’un de ses
points x, on propose un cône convexe fermé T (C, x) de sorte que
C ≈ x + T (C, x).
(3.24)
La figure ci-dessous montre ce que "doit" être T (C, x) en toute logique.
L’objet mathématique T (C, x) qui fait l’affaire, appelé cône tangent à C
en x, est définissable de plusieurs manières équivalentes ; les voici.
Définition 3.10 Soit d ∈ H . Cette direction est dite tangente à C en x ∈ C
lorsqu’une des assertions équivalentes ci-dessous est vérifiée :
(i) On a :
d ∈ R + (C − x).
(3.25)
(ii) ∃ (r n ) > 0, ∃ (x n ) ⊂ C qui converge vers x, tels que
r n (x n − x) → d quand n → +∞.
(3.26)
(iii) ∃ (t n ) > 0 qui tend vers 0, ∃ (d n ) qui tend vers d, tels que
x + t n d n ∈ C pour tout n.
(3.27)