76
CHAPITRE 3. PROJECTION SUR UN CONVEXE FERMÉ
• Projection sur le cône L 2
K
La décomposition "point par point"
f (t) = p K [ f (t)] + p K ◦ [ f (t)] , μ-p.p. en t ∈ T,
fournit la décomposition de Moreau de f ∈ L 2 suivant K = L 2
K et K ◦ =
L 2
K ◦ :
p K ( f ) : t ∈ T → [ p K ( f )] (t) = p K [ f (t)] μ-p.p.
p K ◦ ( f ) : t ∈ T → [ p K ◦ ( f )] (t) = p K ◦ [ f (t)] μ-p.p.
• Décomposition de fonctions de
L 2 (()
n
Soit f ∈
L 2 (()
n . En exprimant la décomposition de Moreau de f suivant K =
g ∈
L 2 (()
n | g = ∇u pour une fonction convexe u
et K ◦ =
cone (S − id ), on obtient ceci :
Il existe une fonction u ∈ H 1 (() (unique à une constante additive près),
une unique fonction h ∈ cone (S − id ) telles que
f = ∇u + h, ∇u, h = 0.
(3.22)
Ainsi, ∇u est le (champ de) gradient de fonction convexe le plus proche
de f (au sens de la norme hilbertienne "naturelle" sur
L 2 (()
n ).
Ceci n’est pas sans rappeler la décomposition de Helmholtz, où, sous
des hypothèses appropriées sur f ∈
L 2 (()
n , il existe des champs u et v
tels que
f = ∇u + rot v.
Mais il s’agit là, dans un contexte linéaire, d’une décomposition orthogonale classique d’Analyse bilatérale dirions-nous (cf. § 1).
Terminons par des règles de calcul sur les cônes polaires, simples à établir à
partir de la définition même de K ◦ et du fait que L ◦◦ = (L ◦ ) ◦ = L lorsque L
est simplement un cône convexe. Si K 1 , K 2 , . . . , K m sont des cônes convexes
fermés de H , on a :
m
i=1
K i
◦
=
m
i=1
K
◦
i ;
m
i=1
K i
◦
=
m
i=1
K
◦
i ;
m
i=1
K i
◦
=
m
i=1
K
◦
i
.