3. PROJ. SUR UN CÔNE CONV. FERMÉ. DÉC. DE MOREAU
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Avec une décomposition x = x 1 + x 2 où x 1 ∈ K et x 2 ∈ K ◦ , il vient de la
formulation au-dessus :
p K (x) ≤ x − x 2 = x 1 .
On opère de manière similaire pour arriver à p K ◦ (x) ≤ x 2 .
Reprenons quelques exemples du § 3.1.
• Projection sur l’orthant positif K = R n
+ de R n
On a p K (x) = (x
+
1 , . . . , x +
n ), p K ◦ (x) = −(x
−
1 , x
−
2 , . . . , x −
n ). La décomposition de Moreau de x est très simple : x = x + + (−x − ), où (x + ) i = x
+
i
et (x − ) i = x
−
i pour tout i = 1, . . . , n.
• Projection sur le cône K = S +
n (R) de S n (R)
Soit A ∈ S n (R). Prenons U orthogonale telle que
U
T AU = U
−1 AU = diag(λ 1 , . . . , λ n )
[les λ i sont les valeurs propres de A].
Alors, en posant
A 1 = U diag (λ
+
1 , . . . , λ
+
n )U
T
, A 2 = U diag(−λ
−
1 , . . . , −λ
−
n )U
T
,
on a : A 1 0, A 2 0 et A 1 , A 2 = 0. Donc, A = A 1 + A 2 est la
décomposition de Moreau de A suivant K = S +
n (R) et K ◦ = −S +
n (R).
Autre manière de dire les choses :
A 1 est la matrice 0 la plus proche de A.
A 2 est la matrice 0 la plus proche de A.
(au sens de la norme matricielle associée à ·, · ·)