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CHAPITRE 3. PROJECTION SUR UN CONVEXE FERMÉ
Théorème 3.8 (de décomposition (J.-J. MOREAU, 1965))
Il y a équivalence des deux assertions suivantes (concernant x ∈ H ) :
(i) x = x 1 + x 2 avec x 1 ∈ K , x 2 ∈ K ◦ , x 1 , x 2 = 0 ;
(ii) x 1 = p K (x) et x 2 = p K ◦ (x).
Comme souvent dans les équivalences, il y a une implication qui est plus
importante que l’autre, ici c’est [(i) ⇒ (ii)]. En effet, si on a (i), on a résolu
les deux problèmes de projection de x, sur K et sur K ◦ . Comment dans le cas
d’un sous-espace vectoriel fermé (contexte du § 1), quand on a la projection
sur l’un (K , resp. K ◦ ), on a la projection sur l’autre (K ◦ , resp. K ) ; du point
de vue pratique, cela peut faire une grande différence !
Démonstration. [(i) ⇒ (ii)] : On a x 1 ∈ K , x − x 1 ∈ K ◦ et x 1 , x − x 1 = 0,
c’est donc que x 1 = p K (x) (grâce à la caractérisation (3.18)). De même, x 2 ∈
K ◦ , x − x 2 ∈ K = (K ◦ ) ◦ et x 2 , x − x 2 = 0 ; c’est donc que x 2 = p K ◦ (x).
[(ii) ⇒ (i)] : Puisque x 1 ∈ K est la projection de x sur K , x − x 1 ∈ K ◦
et x − x 1 , x 1 = 0 (toujours d’après la caractérisation (3.18) de p K (x)) ;
c’est bien le résultat escompté (x 2 := x − x 1 ).
La décomposition de Moreau généralise la décomposition classique (fondamentale) établie lorsque K est un sous-espace vectoriel fermé V de H :
x = p V (x) + p V ⊥ (x), p V (x), p V ⊥ (x) = 0.
Il y a néanmoins quelques différences essentielles :
• p K n’est pas un application linéaire (voir (3.19) pour les propriétés qu’on
peut espérer).
• En projetant x sur K et sur K ◦ , on n’était pas sûr d’obtenir des éléments
orthogonaux (alors que pour un sous-espace vectoriel V , tout élément de V
est orthogonal à tout élément de V ⊥ ).
• La décomposition de x ∈ H en x = x 1 + x 2 , où x 1 ∈ K et x 2 ∈ K ◦ , n’est
pas unique.
Proposition 3.9 ("optimalité" de la décomposition de Moreau)
Soit H x = x 1 + x 2 avec x 1 ∈ K et x 2 ∈ K ◦ . Alors :
x 1 ≥ p K (x) et x 2 ≥ p K ◦ (x) .
(3.21)
Démonstration. On a
p K (x) = x − p K ◦ (x) = min
y∈ K ◦
x − y .
CHAPITRE 3. PROJECTION SUR UN CONVEXE FERMÉ
Théorème 3.8 (de décomposition (J.-J. MOREAU, 1965))
Il y a équivalence des deux assertions suivantes (concernant x ∈ H ) :
(i) x = x 1 + x 2 avec x 1 ∈ K , x 2 ∈ K ◦ , x 1 , x 2 = 0 ;
(ii) x 1 = p K (x) et x 2 = p K ◦ (x).
Comme souvent dans les équivalences, il y a une implication qui est plus
importante que l’autre, ici c’est [(i) ⇒ (ii)]. En effet, si on a (i), on a résolu
les deux problèmes de projection de x, sur K et sur K ◦ . Comment dans le cas
d’un sous-espace vectoriel fermé (contexte du § 1), quand on a la projection
sur l’un (K , resp. K ◦ ), on a la projection sur l’autre (K ◦ , resp. K ) ; du point
de vue pratique, cela peut faire une grande différence !
Démonstration. [(i) ⇒ (ii)] : On a x 1 ∈ K , x − x 1 ∈ K ◦ et x 1 , x − x 1 = 0,
c’est donc que x 1 = p K (x) (grâce à la caractérisation (3.18)). De même, x 2 ∈
K ◦ , x − x 2 ∈ K = (K ◦ ) ◦ et x 2 , x − x 2 = 0 ; c’est donc que x 2 = p K ◦ (x).
[(ii) ⇒ (i)] : Puisque x 1 ∈ K est la projection de x sur K , x − x 1 ∈ K ◦
et x − x 1 , x 1 = 0 (toujours d’après la caractérisation (3.18) de p K (x)) ;
c’est bien le résultat escompté (x 2 := x − x 1 ).
La décomposition de Moreau généralise la décomposition classique (fondamentale) établie lorsque K est un sous-espace vectoriel fermé V de H :
x = p V (x) + p V ⊥ (x), p V (x), p V ⊥ (x) = 0.
Il y a néanmoins quelques différences essentielles :
• p K n’est pas un application linéaire (voir (3.19) pour les propriétés qu’on
peut espérer).
• En projetant x sur K et sur K ◦ , on n’était pas sûr d’obtenir des éléments
orthogonaux (alors que pour un sous-espace vectoriel V , tout élément de V
est orthogonal à tout élément de V ⊥ ).
• La décomposition de x ∈ H en x = x 1 + x 2 , où x 1 ∈ K et x 2 ∈ K ◦ , n’est
pas unique.
Proposition 3.9 ("optimalité" de la décomposition de Moreau)
Soit H x = x 1 + x 2 avec x 1 ∈ K et x 2 ∈ K ◦ . Alors :
x 1 ≥ p K (x) et x 2 ≥ p K ◦ (x) .
(3.21)
Démonstration. On a
p K (x) = x − p K ◦ (x) = min
y∈ K ◦
x − y .