3. PROJ. SUR UN CÔNE CONV. FERMÉ. DÉC. DE MOREAU
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Réciproquement, soit ¯
x vérifiant la propriété indiquée (assertion de droite
dans (3.18)). Considérons la fonction f : H → R qui à y ∈ H associe f (y) := x − y
2 . On a :
f (y) = x − ¯
x + ¯
x − y
2
= x − ¯
x
2
+ ¯
x − y
2
+ 2 x − ¯
x, ¯
x − y
≥ f ( ¯
x) + 2 x − ¯
x, ¯
x − y.
Mais x − ¯
x, ¯
x = 0 et x − ¯
x, y ≥ 0 si y ∈ K . Par conséquent :
f (y) ≥ f ( ¯
x) pour tout y ∈ K ,
ce qui exprime bien que ¯
x est le point de K à distance minimale de x : ¯
x =
p K (x).
Comme conséquences immédiates de la caractérisation (3.18), on a :
p K (x) = 0
⇔
x ∈ K ◦
;
p K (αx) = α p K (x) pour tout α ≥ 0 et x ∈ H ;
p K (−x) = −p −K (x) pour tout x ∈ H.
(3.19)
Plus intéressante est la propriété suivante. Soit K ◦◦ = (K ◦ ) ◦ .
Proposition 3.7 On a :
K
◦◦
:= (K
◦
)
◦
= K .
(3.20)
Démonstration. L’intérêt de la démonstration que nous proposons est qu’elle
ne fait appel à aucun théorème de séparation (ou forme géométrique du théorème de Hahn-Banach), lequel – il est vrai – est caché dans la caractérisation
de p K (x).
Soit x ∈ K . Pour tout y ∈ K ◦ , on a x, y ≤ 0, donc x ∈ K ◦◦ .
Soit x ∈ K ◦◦ et ¯
x := p K (x). D’après la caractérisation (3.18) de ¯
x,
x − ¯
x ∈ K
◦ et ¯
x, x − ¯
x = 0.
Puisque x ∈ K ◦◦ , on a x, x − ¯
x ≤ 0. Par conséquent
x − ¯
x
2
= =x − ¯
x, x − ¯
x = =x − ¯
x, x − −x − ¯
x, ¯
x ≤ 0,
ce qui implique x = ¯
x. Donc x ∈ K .
Conséquence de (3.20) : Si L est un cône convexe de H , L ◦◦ = L ; plus
généralement, si A ⊂ H , A ◦◦ = coneA (le plus petit cône convexe fermé
contenant A).
Nous sommes désormais prêts pour le point culminant de ce § 3.