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CHAPITRE 3. PROJECTION SUR UN CONVEXE FERMÉ
h, s − id ≤ 0 pour tout s ∈ S.
Il en résulte – comme nous le verrons plus loin –
K
◦
= cone(S − id ).
(3.17)
Ce sous-paragraphe a été tiré de [CLR].
3.2 Caractérisation de p K (x) ; propriétés de p K ; décomposition de
Moreau suivant K et K ◦
Théorème 3.6 (de caractérisation) On a :
¯
x = p K (x)
⇔
¯
x ∈ K , x − ¯
x ∈ K ◦
et x − ¯
x, ¯
x = 0
.
(3.18)
Cette caractérisation (3.18) est très "visuelle" (ou géométrique), très facile
à retenir.
La condition de "verrouillage" x − ¯
x, ¯
x = 0 est un peu inattendue ici, il
n’y a pas d’inégalité à vérifier comme dans l’inéquation variationnelle (3.5)
(de la caractérisation de p C (x), C convexe fermé).
Démonstration. Rappelons la caractérisation générale de ¯
x = p C (x) :
¯
x = p C (x)
⇔
¯
x ∈ C et x − ¯
x, y − ¯
x ≤ 0 pour tout y ∈ C
.
Désignons par ¯
x la projection de x sur K . Évidemment ¯
x ∈ K . Mais
comme K est un cône, α ¯
x ∈ K pour tout α ≥ 0. Il vient alors de la caractérisation au-dessus : x − ¯
x, α ¯
x − ¯
x ≤ 0, soit (α − 1)x − ¯
x, ¯
x ≤ 0.
Comme α ≥ 0 est arbitraire, cela ne peut se faire qu’avec x − ¯
x, ¯
x = 0.
Du coup, la caractérisation induit : x − ¯
x, y ≤ 0 pour tout y ∈ K , c’est-àdire x − ¯
x ∈ K ◦ .