3. PROJ. SUR UN CÔNE CONV. FERMÉ. DÉC. DE MOREAU
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Exemples en dimension infinie
• Espaces L 2
K
Soit (X, τ, μ) un espace mesuré avec μ(X ) < +∞, soit K un cône
convexe fermé de R d , et soit L 2 (X, τ, μ ; R d ) l’espace usuel des
(classes de) fonctions f : X → R d telles que
X
f
2 dμ < +∞,
structuré en espace de Hilbert grâce au produit scalaire
f, g :=
X
f (t), g(t) dμ. On pose
K = L
2
K =
f ∈ L
2
(X, τ, μ ; R
d
) | f (t) ∈ K μ-p.p.
.
Alors, K est un cône convexe fermé et
K
◦
= L
2
K ◦ =
g ∈ L
2
(X, τ, μ ; R
d
) | g(t) ∈ K
◦
μ-p.p.
. (3.16)
• Cône des gradients de fonctions convexes
Soit un ouvert convexe borné de R n et
K :=
g ∈
L
2
(()
n | g = ∇u pour une fonction convexe u
.
K est un cône convexe fermé de
L 2 (()
n . Par définition,
K
◦
=
h ∈
L
2
(()
n | |h, g ≤ 0 pour tout g ∈ K
,
où ·, ·· est le produit scalaire "naturel" sur
L 2 (()
n :
(g 1 , . . . , g n ), (h 1 , . . . , h n ) =
n
i=1
f i (x) g i (x) dx.
Il se trouve que le cône polaire K ◦ peut être explicité
(Y. Brenier, 1991) ; le voici. Soit
S := {s : → mesurable telle que la mesure image ˆ
s de dx
par s soit encore dx}
(ˆ s est définie par :
θ(x) dˆ s =
θ [s(x)] dx pour toute fonction θ
continue bornée sur ).
Dans S il y a id bien sûr. Y. Brenier démontre d’abord que h ∈
L 2 (()
n
est dans K ◦ si et seulement si