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CHAPITRE 3. PROJECTION SUR UN CONVEXE FERMÉ
• Cônes d’ordre en Statistique :
Des exemples en sont :
K 1 := {x ∈ R n | x 1 ≤ x 2 ≤ . . . ≤ x n } ,
K 2 :=
x ∈ R n | x 1 ≤
x 1 +x 2
2
≤ . . . ≤
x 1 +...+x n
n
.
Alors :
K ◦
1 :=
y ∈ R n | ∀k = 1, . . . , n − 1,
k
i=1
y i ≥ 0 et
n
i=1
y i = 0
,
K ◦
2 :=
y ∈ R n | y 1 ≥
y 1 +y 2
2
≥ . . . ≥
y 1 +...+y n
n
et
n
i=1
y i = 0
.
• Cône des matrices symétriques semidéfinies positives (ou cône SDP) :
Dans S n (R) structuré en espace euclidien grâce au produit scalaire défini
par M, N := tr(M N ), le cône
K := S
+
n (R) =
A ∈ S n (R) | A est semid´ efinie positive
a pour cône polaire
K
◦
= S
−
n (R) =
B ∈ S n (R) | B est semid´ efinie n´ egative
. (3.15)
Un problème-modèle en Optimisation dite SDP consiste à minimiser une
fonction convexe (quadratique même) sur un ensemble-contrainte de la
forme S +
n (R) ∩ V , où V est un sous-espace affine. Voir [HUM] pour
davantage sur ce cône.
• Cône des matrices symétriques copositives :
K :=
A ∈ S n (R) | |Ax, x ≥ 0 pour tout x ∈ R
n
+
.
Ce cône, très utilisé en Recherche opérationnelle et Optimisation combinatoire, contient le cône (précédent) des matrices semidéfinies positives
ainsi que le cône des matrices symétriques dont tous les coefficients sont
positifs. Pour ce cône K ,
−K
◦
=
A ∈ M n (R) | ∃ B ∈ M n,m (R) `
a coefficients ≥ 0, A = B B
T
.
Les matrices de −K ◦ sont appelées complètement positives.
Voir [HUS] pour un article-revue sur ce cône.