3. PROJ. SUR UN CÔNE CONV. FERMÉ. DÉC. DE MOREAU
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équivaut à celle donnée en (3.14).
On convient d’appeler Analyse unilatérale l’étude de problèmes (d’optimisation entre autres) où interviennent des cônes convexes fermés, comme interviennent les sous-espaces vectoriels (ou affines) fermés en Analyse linéaire.
Exemples en dimension finie.
• L’orthant positif ou cône de Pareto de R n :
K := {x = (x 1 , . . . , x n ) | x i ≥ 0 pour tout i = 1, . . . , n}
( not´ e aussi R
n
+ ).
Alors,
K
◦
= −K = {y = (y 1 , . . . , y n ) | y i ≤ 0 pour tout i = 1, . . . , n} .
• Le cône des vecteurs à composantes autocorrélées de R n+1 :
C n+1 :=
(x 0 , . . . , x n ) ∈ R n+1 | ∃ y = (y 0 , y 1 , . . . , y n ) ∈ R n+1
tel que x k =
n−k
i=0
y i y i+k pour tout k = 0, 1, . . . , n
.
C n est un cône convexe fermé de R n+1 , ce qui est loin d’être évident à
démontrer directement... Heureusement, il y a une formulation équivalente
de C n+1 :
C n+1 :=
(x 0 , . . . , x n ) ∈ R
n+1
| ∀ω ∈ [0, π] ,
x 0 + 2
n
k=1
x k cos(kω) ≥ 0
.
Ainsi,
C
◦
n+1 = cone {v(ω) | ω ∈ [0, π]} , o` u v(ω) :
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
cos(ω)
. . .
cos(kω)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Voir [F] pour davantage sur ce cône.