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CHAPITRE 3. PROJECTION SUR UN CONVEXE FERMÉ
Le § 2.2 a été largement inspiré par les ouvrages [BZ] et [D], auxquels on
renvoie pour plus de développements.
3 La projection sur un cône convexe fermé. La décomposition de
MOREAU
C’est en quelque sorte la situation intermédiaire entre celle rappelée au § 1
et celle traitée au § 2. Mais, du fait que C sera pris un cône convexe fermé,
noté plus loin K , on va aller beaucoup plus loin que dans § 2 et se rapprocher
de ce qu’on obtenait dans le contexte du § 1.
3.1 Le cône polaire
Soit donc pour toute la suite un cône convexe fermé K de H 1 .
La notion qui va suivre est essentielle : elle va jouer pour les cônes convexes
fermés le rôle que jouait l’orthogonalité pour les sous-espaces vectoriels
fermés.
Définition 3.5 On appelle cône polaire (ou cône polaire négatif, ou cône
dual) l’ensemble suivant :
K
◦
:= {y ∈ H | |y, x ≤ 0 pour tout x ∈ K } .
(3.14)
D’autres notations sont également utilisées pour le cône polaire de K : K − ,
K , etc.
Il est facile de voir, à partir de la définition même, que K ◦ est toujours
un cône convexe fermé. On aurait pu définir, via (3.14), A ◦ pour n’importe
quel A ⊂ H ; le résultat eût été inchangé puisque :
A
◦
= (cone A)
◦
,
où cone A désigne le plus petit cône convexe fermé contenant A (noté
parfois cc A).
Le lecteur-étudiant a peut-être déjà rencontré la notion de polarité suivante :
si B ⊂ H , l’ensemble polaire de B est constitué des y ∈ H vérifiant y, x ≤ 1 pour tout x ∈ B. Lorsque B est un cône, cette définition
1 sous-entendu "de pointe (ou sommet) l’origine" ; bref K vérifie les deux propriétés "K est
un convexe fermé", (x ∈ K , α ≥ 0) ⇒ (αx ∈ K ).
CHAPITRE 3. PROJECTION SUR UN CONVEXE FERMÉ
Le § 2.2 a été largement inspiré par les ouvrages [BZ] et [D], auxquels on
renvoie pour plus de développements.
3 La projection sur un cône convexe fermé. La décomposition de
MOREAU
C’est en quelque sorte la situation intermédiaire entre celle rappelée au § 1
et celle traitée au § 2. Mais, du fait que C sera pris un cône convexe fermé,
noté plus loin K , on va aller beaucoup plus loin que dans § 2 et se rapprocher
de ce qu’on obtenait dans le contexte du § 1.
3.1 Le cône polaire
Soit donc pour toute la suite un cône convexe fermé K de H 1 .
La notion qui va suivre est essentielle : elle va jouer pour les cônes convexes
fermés le rôle que jouait l’orthogonalité pour les sous-espaces vectoriels
fermés.
Définition 3.5 On appelle cône polaire (ou cône polaire négatif, ou cône
dual) l’ensemble suivant :
K
◦
:= {y ∈ H | |y, x ≤ 0 pour tout x ∈ K } .
(3.14)
D’autres notations sont également utilisées pour le cône polaire de K : K − ,
K , etc.
Il est facile de voir, à partir de la définition même, que K ◦ est toujours
un cône convexe fermé. On aurait pu définir, via (3.14), A ◦ pour n’importe
quel A ⊂ H ; le résultat eût été inchangé puisque :
A
◦
= (cone A)
◦
,
où cone A désigne le plus petit cône convexe fermé contenant A (noté
parfois cc A).
Le lecteur-étudiant a peut-être déjà rencontré la notion de polarité suivante :
si B ⊂ H , l’ensemble polaire de B est constitué des y ∈ H vérifiant y, x ≤ 1 pour tout x ∈ B. Lorsque B est un cône, cette définition
1 sous-entendu "de pointe (ou sommet) l’origine" ; bref K vérifie les deux propriétés "K est
un convexe fermé", (x ∈ K , α ≥ 0) ⇒ (αx ∈ K ).