2. PROJECTION SUR UN CONVEXE FERMÉ
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de type suivant : C 1 est un hyperplan fermé, C 2 est un cône convexe
fermé, C 1 ∩C 2 = {0} ; la suite (x k ) générée par projections alternées converge
faiblement vers 0 mais ne converge pas fortement vers 0 !
Commentaires.
• Dans les applications ad hoc (signal, imagerie), même si int (C 1 ∩ C 2 ) =
∅, on peut quand même avoir convergence forte de (x k ) vers un point
de C 1 ∩ C 2 .
• Avoir un résultat de convergence faible n’interdit pas la "numérisation" du
problème (via des discrétisations, bien sûr). Après tout, x k x signifie
que, quel que soit "l’observateur" y ∈ H, y, x k → →y, x.
• Le passage de 2 à N convexes fermés C i n’est pas évident ; toutefois il y a
une astuce qui permet de se ramener au cas de deux convexes seulement.
Posons en effet :
C = C 1 × C 2 × . . . × C N , convexe fermé deH N ;
=
x = (x 1 , . . . , x N ) ∈ H N | x 1 = x 2 = . . . = x N
, la "diagonale"
de H N .
Alors, de manière évidente,
( x ∈
N
i=1
C i ) ⇔ ( (x, x, . . . , x) ∈ C ∩ ) .
(3.13)
Mais est toujours d’intérieur vide... too bad.
Prolongement. L’objectif étant de projeter x sur
N
i=1
C i en utilisant les projections p C i et d’autres opérations simples, des corrections intermédiaires sont
nécessaires dans le design des (x k ). Ceci a été fait par Boyle et Dykstra,
dans un contexte de dimension finie. Schématiquement, cela donne ceci :
x 0 = x ; x k+1 = p C k (x k )
[projection sur C k ]
x k+1 x
+
k+1
["correction" non pr´ ecis´ ee ici]
x k+2 = p C k+1 (x
+
k+1 ),
etc.
Alors la suite (x k ) converge vers la projection de x sur
N
i=1
C i .
Cet algorithme est utilisé quelque peu en Optimisation et beaucoup en
Statistique.
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de type suivant : C 1 est un hyperplan fermé, C 2 est un cône convexe
fermé, C 1 ∩C 2 = {0} ; la suite (x k ) générée par projections alternées converge
faiblement vers 0 mais ne converge pas fortement vers 0 !
Commentaires.
• Dans les applications ad hoc (signal, imagerie), même si int (C 1 ∩ C 2 ) =
∅, on peut quand même avoir convergence forte de (x k ) vers un point
de C 1 ∩ C 2 .
• Avoir un résultat de convergence faible n’interdit pas la "numérisation" du
problème (via des discrétisations, bien sûr). Après tout, x k x signifie
que, quel que soit "l’observateur" y ∈ H, y, x k → →y, x.
• Le passage de 2 à N convexes fermés C i n’est pas évident ; toutefois il y a
une astuce qui permet de se ramener au cas de deux convexes seulement.
Posons en effet :
C = C 1 × C 2 × . . . × C N , convexe fermé deH N ;
=
x = (x 1 , . . . , x N ) ∈ H N | x 1 = x 2 = . . . = x N
, la "diagonale"
de H N .
Alors, de manière évidente,
( x ∈
N
i=1
C i ) ⇔ ( (x, x, . . . , x) ∈ C ∩ ) .
(3.13)
Mais est toujours d’intérieur vide... too bad.
Prolongement. L’objectif étant de projeter x sur
N
i=1
C i en utilisant les projections p C i et d’autres opérations simples, des corrections intermédiaires sont
nécessaires dans le design des (x k ). Ceci a été fait par Boyle et Dykstra,
dans un contexte de dimension finie. Schématiquement, cela donne ceci :
x 0 = x ; x k+1 = p C k (x k )
[projection sur C k ]
x k+1 x
+
k+1
["correction" non pr´ ecis´ ee ici]
x k+2 = p C k+1 (x
+
k+1 ),
etc.
Alors la suite (x k ) converge vers la projection de x sur
N
i=1
C i .
Cet algorithme est utilisé quelque peu en Optimisation et beaucoup en
Statistique.