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CHAPITRE 3. PROJECTION SUR UN CONVEXE FERMÉ
on construit à partir de x une suite (x k ) en projetant alternativement sur V 1
et sur V 2 :
x 0 = x ;
∀ k ≥ 1, x 2k−1 = p V 1 (x 2k−2 ), x 2k = p V 2 (x 2k−1 ).
(3.12)
La suite (x k ) ainsi définie converge (fortement) vers ¯
x = p V 1 ∩V 2 (x).
Esquisse de la démonstration. La démonstration n’est pas simple car, ne
l’oublions pas, on est dans un contexte de dimension infinie... Voici un cheminement possible :
– Point 1. La suite (x k ) des normes est décroissante.
– Point 2. La suite (x 2k ) est une suite de Cauchy de V 2 .
– Point 3. (Toute) La suite (x k ) converge vers un élément ¯
x de V 1 ∩ V 2 .
– Point 4. Le point ¯
x obtenu est bien la projection de x sur V 1 ∩ V 2 .
On est tenté d’étendre l’algorithme des projections alternées de Von Neumann
au cas de deux convexes fermés (qui s’intersectent), et de penser que la suite
ainsi construite converge vers la projection de x (point initial) sur C 1 ∩ C 2 . Il
n’en est rien, déjà avec deux demi-espaces fermés C 1 et C 2 . Dans l’exemple
de la figure ci-dessous :
x k = x 2 ∈ C 1 ∩ C 2 pour tout k ≥ 2
x 2 n’est pas la projection de x sur C 1 ∩ C 2 .
Néanmoins, il y a un résultat de convergence de (x k ) vers un point de C 1 ∩C 2 .
Théorème 3.4 (Algorithme de J. VON NEUMANN étendu)
Soit C 1 et C 2 deux convexes fermés non vides de H . On considère comme
en (3.12) la suite (x k ) générée par les projections alternées sur C 1 et C 2 .
Alors :
(i) Si C 1 ∩C 2 = ∅, la suite (x k ) converge faiblement vers un point de C 1 ∩C 2 .
(ii) Si int (C 1 ∩ C 2 ) = ∅, la suite (x k ) converge fortement vers un point
de C 1 ∩ C 2 .
Curieusement, (i) n’est pas due à une limitation d’expertise pour les
démonstrations... H. S. Hundai a construit un contre-exemple en 2004,
CHAPITRE 3. PROJECTION SUR UN CONVEXE FERMÉ
on construit à partir de x une suite (x k ) en projetant alternativement sur V 1
et sur V 2 :
x 0 = x ;
∀ k ≥ 1, x 2k−1 = p V 1 (x 2k−2 ), x 2k = p V 2 (x 2k−1 ).
(3.12)
La suite (x k ) ainsi définie converge (fortement) vers ¯
x = p V 1 ∩V 2 (x).
Esquisse de la démonstration. La démonstration n’est pas simple car, ne
l’oublions pas, on est dans un contexte de dimension infinie... Voici un cheminement possible :
– Point 1. La suite (x k ) des normes est décroissante.
– Point 2. La suite (x 2k ) est une suite de Cauchy de V 2 .
– Point 3. (Toute) La suite (x k ) converge vers un élément ¯
x de V 1 ∩ V 2 .
– Point 4. Le point ¯
x obtenu est bien la projection de x sur V 1 ∩ V 2 .
On est tenté d’étendre l’algorithme des projections alternées de Von Neumann
au cas de deux convexes fermés (qui s’intersectent), et de penser que la suite
ainsi construite converge vers la projection de x (point initial) sur C 1 ∩ C 2 . Il
n’en est rien, déjà avec deux demi-espaces fermés C 1 et C 2 . Dans l’exemple
de la figure ci-dessous :
x k = x 2 ∈ C 1 ∩ C 2 pour tout k ≥ 2
x 2 n’est pas la projection de x sur C 1 ∩ C 2 .
Néanmoins, il y a un résultat de convergence de (x k ) vers un point de C 1 ∩C 2 .
Théorème 3.4 (Algorithme de J. VON NEUMANN étendu)
Soit C 1 et C 2 deux convexes fermés non vides de H . On considère comme
en (3.12) la suite (x k ) générée par les projections alternées sur C 1 et C 2 .
Alors :
(i) Si C 1 ∩C 2 = ∅, la suite (x k ) converge faiblement vers un point de C 1 ∩C 2 .
(ii) Si int (C 1 ∩ C 2 ) = ∅, la suite (x k ) converge fortement vers un point
de C 1 ∩ C 2 .
Curieusement, (i) n’est pas due à une limitation d’expertise pour les
démonstrations... H. S. Hundai a construit un contre-exemple en 2004,