2. PROJECTION SUR UN CONVEXE FERMÉ
65
d
2
C (x) ≤ x − p C (x + h)
2 car p C (x + h) ∈ C,
d’où
x (h) ≥ d
2
C (x + h) − x − p C (x + h)
2
= p C (x + h) − (x + h)
2
− x − p C (x + h)
2
x (h) ≥ 2x − p C (x + h), h + h
2
.
(3.10)
D’autre part, en intervertissant le rôle de x et de x + h, on obtient :
x (h) ≤ x + h − p C (x)
2
− x − p C (x)
2
,
x (h) ≥ 2 x − p C (x), h + h
2
.
(3.11)
Comme p C (x + h) − p C (x) ≤ h (car p C est 1-Lipschitz sur H ), il
vient de (3.10) et (3.11) :
x (h) = 2 x − p C (x), h + o(h).
L’assertion (ii) de la Proposition 3.2 est ainsi démontrée.
2.2 Le problème de l’admissibilité ou faisabilité convexe (the
"convex feasibility problem")
De nombreux et importants exemples d’application (traitement du signal,
imagerie) font apparaître C sous la forme suivante :
C =
N
i=1
C i ,
avec :
• ∀ i, C i "plutôt simple" (lorsqu’il s’agira de projeter sur C i , par exemple) ;
• N est grand.
Deux questions essentielles se posent :
• Trouver un point de C, en utilisant les opérations de projection sur les C i .
• Déterminer p C (x), en utilisant les projections sur les C i .
Le prototype de résultat répondant à ces questions est la méthode des projections alternées de J. Von Neumann.
Théorème 3.3 (J. VON NEUMANN)
Soit V 1 et V 2 deux sous-espaces vectoriels fermés de H . Étant donné x ∈ H ,