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CHAPITRE 3. PROJECTION SUR UN CONVEXE FERMÉ
Fig. 3.1 Illustration des caractérisations du projeté sur un convexe fermé
Exemple visuel : C = [0, 1] ⊂ R
Liens avec la différentiabilité de d C , de d 2
C , de ϕ C
Ce qui va suivre précise et améliore nettement les résultats énoncés à la
section 2.2.1 du Chapitre 2 (page 42).
Proposition 3.2
(i) La fonction-distance d C est différentiable sur l’ouvert C c , avec :
∀ x ∈ C
c
, ∇d C (x) =
x − p C (x)
x − p C (x)
.
(3.8)
(ii) La fonction d 2
C est partout différentiable sur H , avec :
∀ x ∈ H, ∇d
2
C (x) = 2 [x − p C (x)] .
(iii) La fonction ϕ C (=
1
2 · 2 − d 2
C ) est partout différentiable sur H , avec :
∀ x ∈ H, ∇ϕ C (x) = p C (x).
(3.9)
(3.9) est très explicite, nous la reformulons de la manière suivante : x →
p C (x) est un champ de gradients sur H , et (toutes) les fonctions primitives
de p C sont ϕ C + K , où K est une constante réelle.
Démonstration : Contentons-nous de celle de (ii) ; elle est facile et a la propriété d’être "self-contained" (c’est du simple calcul hilbertien). Pour x ∈ H ,
posons x (h) := d 2
C (x + h) − d 2
C (x). D’une part, on a :