2. PROJECTION SUR UN CONVEXE FERMÉ
63
2.1 Caractérisation et propriétés essentielles
Par définition, ¯
x = p C (x) est l’unique solution du problème de minimisation
(P x )
Minimiser x − c , ou bien
1
2 x − c
2
c ∈ C.
En convenant de considérer f : c ∈ H → f (x) :=
1
2 x − c
2 , laquelle
est C ∞ et convexe sur H , (P x ) est donc un problème de minimisation
convexe. Mais ça n’est pas pour autant que localiser ou approcher ¯
x = p C (x)
est une chose facile.
Propriétés principales de p C
(i) Caractérisation variationnelle de ¯
x = p C (x) :
( ¯
x = p C (x)) ⇔
¯
x ∈ C et
x − ¯
x, c − ¯
x ≤ 0 pour tout c ∈ C
(3.5)
(ii) Pour tout x, x dans H ,
p C (x) − p C (x
), x − x
≥
p C (x) − p C (x
)
2 ,
(3.6)
dont deux propriétés sous-produits sont :
p C (x) − p C (x ), x − x ≥ 0 ["monotonie (croissante)"]
p C (x) − p C (x )
≤
x − x
[propri´ et´ e de 1-Lipschitz sur H ].
La meilleure façon de se souvenir de (3.5) est d’avoir à l’esprit la figure 3.1 :
l’angle entre les vecteurs x − ¯
x et c − ¯
x est toujours obtus.
Il existe une autre caractérisation de ¯
x = p C (x), qui ressemble à (3.5) :
( ¯
x = p C (x)) ⇔
¯
x ∈ C et
¯
x − c, x − c ≥ 0 pour tout x ∈ C.
(3.7)
La démonstration est laissée sous forme d’exercice.
Attention ! p C n’est pas différentiable... Toutefois, on verra plus loin que p C
admet des dérivées directionnelles en x dans toutes directions d ∈ H , du
moins lorsque x ∈ C.
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2.1 Caractérisation et propriétés essentielles
Par définition, ¯
x = p C (x) est l’unique solution du problème de minimisation
(P x )
Minimiser x − c , ou bien
1
2 x − c
2
c ∈ C.
En convenant de considérer f : c ∈ H → f (x) :=
1
2 x − c
2 , laquelle
est C ∞ et convexe sur H , (P x ) est donc un problème de minimisation
convexe. Mais ça n’est pas pour autant que localiser ou approcher ¯
x = p C (x)
est une chose facile.
Propriétés principales de p C
(i) Caractérisation variationnelle de ¯
x = p C (x) :
( ¯
x = p C (x)) ⇔
¯
x ∈ C et
x − ¯
x, c − ¯
x ≤ 0 pour tout c ∈ C
(3.5)
(ii) Pour tout x, x dans H ,
p C (x) − p C (x
), x − x
≥
p C (x) − p C (x
)
2 ,
(3.6)
dont deux propriétés sous-produits sont :
p C (x) − p C (x ), x − x ≥ 0 ["monotonie (croissante)"]
p C (x) − p C (x )
≤
x − x
[propri´ et´ e de 1-Lipschitz sur H ].
La meilleure façon de se souvenir de (3.5) est d’avoir à l’esprit la figure 3.1 :
l’angle entre les vecteurs x − ¯
x et c − ¯
x est toujours obtus.
Il existe une autre caractérisation de ¯
x = p C (x), qui ressemble à (3.5) :
( ¯
x = p C (x)) ⇔
¯
x ∈ C et
¯
x − c, x − c ≥ 0 pour tout x ∈ C.
(3.7)
La démonstration est laissée sous forme d’exercice.
Attention ! p C n’est pas différentiable... Toutefois, on verra plus loin que p C
admet des dérivées directionnelles en x dans toutes directions d ∈ H , du
moins lorsque x ∈ C.