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CHAPITRE 3. PROJECTION SUR UN CONVEXE FERMÉ
1 Le contexte linéaire : la projection sur un sous-espace vectoriel
fermé (Rappels)
Nous partons d’assez loin, à partir de choses vues en L3, où le convexe fermé
sur lequel on projette est un sous-espace vectoriel fermé V de H .
On supposera V non réduit à {0}, afin d’éviter les trivialités.
1.1 Propriétés basiques de p V
Nous rappelons brièvement ici les propriétés de p V dans ce "contexte ou
monde linéaire".
Théorème 3.1
(i) L’opérateur ou application de projection p V : H → V ⊂ H est linéaire
continue, avec ||| p V ||| = 1 (rappel : ||| p V ||| = sup
x =0
p V (x)
x ).
(ii) Im p V = V , Ker p V = V ⊥ , H = V ⊕ V ⊥ .
(iii) V ⊥⊥ (=: (V ⊥ ) ⊥ ) n’est autre que V .
(iv) L’application de projection p V ⊥ n’est autre que id H − p V , i.e.
∀ x ∈ H, p V ⊥ (x) = x − p V (x).
(v) Décomposition de tout x ∈ H suivant V et V ⊥ :
x = p V (x) + p V ⊥ (x), p V (x) et p V ⊥ (x) sont orthogonaux ;
x 2 = p V (x)
2
+
p V ⊥ (x)
2 .
(3.1)
(vi) p V est auto-adjoint, c’est-à-dire :
∀ x, y ∈ H, p V (x), y = =x, p V (y).
1.2 Caractérisation de p V
Nous avons :
( ¯
x = p V (x)) ⇔
¯
x ∈ V et
x − ¯
x ∈ V ⊥
.
(3.2)
Le cas où C est un sous-espace affine fermé de H , disons
C = x 0 + V, avec x 0 ∈ C et V sous-espace "direction" de C,