1. PROJECTION SUR UN SOUS-ESPACE VECTORIEL FERMÉ
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est à peine un peu plus général ; la caractérisation est du même tonneau
que (3.2) :
( ¯
x = p C (x)) ⇔
x − ¯
x, c − ¯
x = 0
pour tout c ∈ C
⇔
¯
x ∈ C et
x − ¯
x ∈ V ⊥
.
Les trois figures ci-dessous permettent de garder en tête ces résultats.
Le calcul effectif de p V (x) pour un x donné n’est pas toujours chose facile ;
retenons de ce qui précède que déterminer p V (x) et déterminer p V ⊥ (x)
sont deux problèmes équivalents : quand on a l’une on a l’autre ( p V ⊥ (x) =
x − p V (x), p V (x) = x − p V ⊥ (x)).
1.3 La "technologie des moindres carrés"
Soit H 1 et H 2 deux espaces de Hilbert, A ∈ L (H 1 , H 2 ) telle que Im A soit
fermée (dans H 2 ), soit y ∈ H 2 . Alors, le problème (P), dit "des moindres
carrés", qui consiste à minimiser
x ∈ H 1 → Ax − y H 2
(3.3)
sur H 1 admet des solutions ; elles sont caractérisées comme étant les solutions
de l’équation
(A
∗
◦ A) x = A
∗ y,
(3.4)
appelée "équation normale du problème des moindres carrés (P)". En particulier, si A ∗ ◦ A (∈ L (H 1 )) est inversible, alors (P) a pour unique solution
¯
x = (A
∗
◦ A)
−1 A
∗ y.
A ∗ ◦ A : H 1 → H 1
H 2
A ∗
→ H 1
↓ (A ∗ ◦ A) −1
H 1
y
↓
¯
x → A ¯
x ∈ V = Im A
A ¯
x est la projection
Sch´ emas-r´ esum´ es orthogonale de y sur Im A
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est à peine un peu plus général ; la caractérisation est du même tonneau
que (3.2) :
( ¯
x = p C (x)) ⇔
x − ¯
x, c − ¯
x = 0
pour tout c ∈ C
⇔
¯
x ∈ C et
x − ¯
x ∈ V ⊥
.
Les trois figures ci-dessous permettent de garder en tête ces résultats.
Le calcul effectif de p V (x) pour un x donné n’est pas toujours chose facile ;
retenons de ce qui précède que déterminer p V (x) et déterminer p V ⊥ (x)
sont deux problèmes équivalents : quand on a l’une on a l’autre ( p V ⊥ (x) =
x − p V (x), p V (x) = x − p V ⊥ (x)).
1.3 La "technologie des moindres carrés"
Soit H 1 et H 2 deux espaces de Hilbert, A ∈ L (H 1 , H 2 ) telle que Im A soit
fermée (dans H 2 ), soit y ∈ H 2 . Alors, le problème (P), dit "des moindres
carrés", qui consiste à minimiser
x ∈ H 1 → Ax − y H 2
(3.3)
sur H 1 admet des solutions ; elles sont caractérisées comme étant les solutions
de l’équation
(A
∗
◦ A) x = A
∗ y,
(3.4)
appelée "équation normale du problème des moindres carrés (P)". En particulier, si A ∗ ◦ A (∈ L (H 1 )) est inversible, alors (P) a pour unique solution
¯
x = (A
∗
◦ A)
−1 A
∗ y.
A ∗ ◦ A : H 1 → H 1
H 2
A ∗
→ H 1
↓ (A ∗ ◦ A) −1
H 1
y
↓
¯
x → A ¯
x ∈ V = Im A
A ¯
x est la projection
Sch´ emas-r´ esum´ es orthogonale de y sur Im A