Chapitre 3
-AUTOUR DE LA PROJECTION SUR UN
CONVEXE FERMÉ ;
-LA DÉCOMPOSITION DE MOREAU.
"Les espaces hilbertiens ou espaces de Hilbert sont l’outil
fondamental des applications de l’Analyse à la Physique et aux
Sciences de l’ingénieur." L. Schwartz (1915-2002)
"L’analyse convexe est l’occasion d’appliquer les idées de la
Mécanique aux Mathématiques." J.- J. Moreau (1923- )
La projection sur un convexe fermé d’un espace de Hilbert est une opération
bien étudiée par le passé, au niveau du M1 notamment. Nous y revenons
cependant pour, d’une part, y apporter des compléments (aussi bien théoriques que d’applications) et, d’autre part, étudier le cas particulier important
des cônes convexes fermés. La décomposition de Moreau qui en résultera
est un outil important utile dans des domaines aussi divers que la Statistique,
l’Optimisation matricielle ou la Mécanique.
Points d’appui / Prérequis :
• Techniques de calcul dans les espaces de Hilbert
• Propriétés de base des convexes fermés d’un espace de Hilbert.
Le contexte général d’étude dans ce chapitre est le suivant :
(H, ·, ··) est un espace de Hilbert ; · =
√
·, ·· est la norme (dite hilbertienne) dérivée de ·, ··.
C étant un convexe fermé (non vide) de H , P C (x) = { p C (x)} pour tout x ∈
H (suivant les notations du Chapitre 2) ; l’application p C : H → H est
l’opérateur (ou l’application) de projection sur C.
J.-B. Hiriart-Urruty, Bases, outils et principes pour l’analyse variationnelle,
5 9
Mathématiques et Applications 70, DOI: 10.1007/978-3-642-30735-5_3,
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
-AUTOUR DE LA PROJECTION SUR UN
CONVEXE FERMÉ ;
-LA DÉCOMPOSITION DE MOREAU.
"Les espaces hilbertiens ou espaces de Hilbert sont l’outil
fondamental des applications de l’Analyse à la Physique et aux
Sciences de l’ingénieur." L. Schwartz (1915-2002)
"L’analyse convexe est l’occasion d’appliquer les idées de la
Mécanique aux Mathématiques." J.- J. Moreau (1923- )
La projection sur un convexe fermé d’un espace de Hilbert est une opération
bien étudiée par le passé, au niveau du M1 notamment. Nous y revenons
cependant pour, d’une part, y apporter des compléments (aussi bien théoriques que d’applications) et, d’autre part, étudier le cas particulier important
des cônes convexes fermés. La décomposition de Moreau qui en résultera
est un outil important utile dans des domaines aussi divers que la Statistique,
l’Optimisation matricielle ou la Mécanique.
Points d’appui / Prérequis :
• Techniques de calcul dans les espaces de Hilbert
• Propriétés de base des convexes fermés d’un espace de Hilbert.
Le contexte général d’étude dans ce chapitre est le suivant :
(H, ·, ··) est un espace de Hilbert ; · =
√
·, ·· est la norme (dite hilbertienne) dérivée de ·, ··.
C étant un convexe fermé (non vide) de H , P C (x) = { p C (x)} pour tout x ∈
H (suivant les notations du Chapitre 2) ; l’application p C : H → H est
l’opérateur (ou l’application) de projection sur C.
J.-B. Hiriart-Urruty, Bases, outils et principes pour l’analyse variationnelle,
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Mathématiques et Applications 70, DOI: 10.1007/978-3-642-30735-5_3,
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013