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CHAPITRE 2. CONDITIONS D’OPTIMALITÉ APPROCHÉE
∀ x ∈ E, f (x) ≥ r x − c.
Montrer que D G f (E) := {D G f (x) | x ∈ E} est dense dans r B ∗ (B ∗ est la
boule unité de X ∗ pour la norme · ∗ ).
Hint : Étant donné x ∗ ∈ r B ∗ , considérer la fonction perturbée
g : x ∈ E → g(x) := f (x) − −x
∗
, x.
Appliquer à g le Corollaire 2.3 de la page 29.
Exercice 3 Soit f : E → R de classe C 1 sur E (espace de Banach). On dit
que f vérifie la condition (de compacité) de Palais-Smale lorsque :
(x n ) ⊂ E, ( f (x n )) n est born´ ee
D f (x n ) → 0 dans X ∗
⇒
il existe une sous-suite de (x n )
qui converge (pour la topologie forte)
.
Supposons donc que f vérifie la condition de Palais-Smale et qu’elle est
bornée inférieurement sur E.
Montrer qu’il existe x ∈ E minimisant f sur E.
Hint : Appliquer le théorème d’Ekeland à f , avec ε =
1
n
(n ∈ N
∗
).
Exercice 4 (Minimisation approchée sur un sous-espace)
Soit f : H → R semicontinue inférieurement et G-différentiable sur H (par
exemple, f F-différentiable sur H couvre ces deux hypothèses). Soit V un
sous-espace vectoriel fermé de H .
1) Montrer que si x ∈ V minimise f sur V , alors
∇ f (x) ∈ V
⊥
.
2) Supposons f bornée inférieuremnt sur V . Montrer que pour tout ε > 0,
il existe x ε ∈ V vérifiant :
f (x ε ) ≤ inf
V
f + ε ;
||∇ f (x ε ), d| ≤ ε pour tout d ∈ V tel que d ≤ 1.
Montrer que cette dernière condition équivaut à :
∇ f (x ε ) ∈ V
⊥
+ B(0, ε).