ANNEXE
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ce qui fait qu’on a des énoncés de théorèmes avec des hypothèses comme
"soit f s.c.i. et G-différentiable sur E", laquelle est assurée avec "soit f
F-différentiable sur E".
Si E est de dimension finie
(H-diff´ erentiabilit´ e) ⇔ (F-diff´ erentiabilit´ e).
Si f vérifie une condition de Lipschitz dans un voisinage de x, alors
(G-diff´ erentiabilit´ e en x) ⇔ (H-diff´ erentiabilit´ e en x).
En pratique, dans un contexte de problèmes variationnels :
– la F-différentiabilité est une requête exigente, souvent inaccessible... et
pourtant beaucoup de résultats du Calcul différentiel reposent sur cette
hypothèse.
– la G-différentiabilité est plus accessible, et souvent on commence par
là, même pour accéder à la F-différentiabilité. Malheureusement, la Gdifférentiabilité ne permet pas les règles de calcul à la chaîne ("chain
rules").
La dimension infinie pose des obstacles inattendus ; ainsi, même si f : O ⊂
E → R est Lipschitz et convexe dans un voisinage ouvert convexe O de x,
il peut y avoir un "gros trou" entre les différentiabilités G-H et F de f en x.
Fonctions continûment différentiables (de classe C 1 ). Là, il n’y a pas de
distinguo à faire (ouf !). Si O est un ouvert de E, avoir f X-différentiable
sur O et D X f : O → E ∗ continue sur O revient au même avec X =
G, H ou F.
Exercices
Exercice 1 Soit f : R n → R différentiable, telle que f (x)/ x → +∞
quand x → +∞ (c’est la 1-coercivité de f sur R n ). Montrer qu’alors
∇ f (x) | x ∈ R
n
= R
n
.
Hint : Pour v ∈ R n , considérer g v (x) := f (x) − −v, x.
Exercice 2 Soit f : E → R continue et Gâteaux-différentiable sur E
(espace de Banach). On suppose qu’il existe r > 0 et c tels que :
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ce qui fait qu’on a des énoncés de théorèmes avec des hypothèses comme
"soit f s.c.i. et G-différentiable sur E", laquelle est assurée avec "soit f
F-différentiable sur E".
Si E est de dimension finie
(H-diff´ erentiabilit´ e) ⇔ (F-diff´ erentiabilit´ e).
Si f vérifie une condition de Lipschitz dans un voisinage de x, alors
(G-diff´ erentiabilit´ e en x) ⇔ (H-diff´ erentiabilit´ e en x).
En pratique, dans un contexte de problèmes variationnels :
– la F-différentiabilité est une requête exigente, souvent inaccessible... et
pourtant beaucoup de résultats du Calcul différentiel reposent sur cette
hypothèse.
– la G-différentiabilité est plus accessible, et souvent on commence par
là, même pour accéder à la F-différentiabilité. Malheureusement, la Gdifférentiabilité ne permet pas les règles de calcul à la chaîne ("chain
rules").
La dimension infinie pose des obstacles inattendus ; ainsi, même si f : O ⊂
E → R est Lipschitz et convexe dans un voisinage ouvert convexe O de x,
il peut y avoir un "gros trou" entre les différentiabilités G-H et F de f en x.
Fonctions continûment différentiables (de classe C 1 ). Là, il n’y a pas de
distinguo à faire (ouf !). Si O est un ouvert de E, avoir f X-différentiable
sur O et D X f : O → E ∗ continue sur O revient au même avec X =
G, H ou F.
Exercices
Exercice 1 Soit f : R n → R différentiable, telle que f (x)/ x → +∞
quand x → +∞ (c’est la 1-coercivité de f sur R n ). Montrer qu’alors
∇ f (x) | x ∈ R
n
= R
n
.
Hint : Pour v ∈ R n , considérer g v (x) := f (x) − −v, x.
Exercice 2 Soit f : E → R continue et Gâteaux-différentiable sur E
(espace de Banach). On suppose qu’il existe r > 0 et c tels que :