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CHAPITRE 2. CONDITIONS D’OPTIMALITÉ APPROCHÉE
(ou ∇ f (x) simplement) et appelé gradient de f en x :
∀ d ∈ H, D F f (x) d = =∇ F f (x), d.
G-différentiabilité. On dit que f est différentiable au sens de R. Gâteaux
(G-différentiable en abrégé) en x lorsque
∀ d ∈ E,
f (x + α d) − f (x)
α
a une limite lorsque α → 0,
et que cette limite (qui dépend de d) est une forme linéaire continue de d :
∀ d ∈ E,
f (x + α d) − f (x)
α
→ →D G f (x), d.
H-différentiabilité. Il y a une différentiabilité intermédiaire, au sens de
J. Hadamard. Une manière de la présenter est comme ceci.
Soit B la famille des compacts de E. On dit que f est différentiable au sens
de J. Hadamard (H-différentiable en abrégé) en x lorsqu’il existe l ∗ ∈ E ∗ ,
noté D H f (x), telle que
lim
α→ 0
f (x + α d) − f (x)
α
= =D H f (x), d uniform´ ement pour d ∈ S,
et ce pour tout S ∈ B.
(2.30)
Cette manière d’exprimer les choses permet une comparaison directe avec
la F-différentiabilité et la G-différentiabilité.
La F-différentiabilité de f en x s’écrit, de manière équivalente, comme
dans la définition (2.30), en prenant pour B la collection des fermés bornés de E.
La G-différentiabilité de f en x s’écrit, de manière équivalente, comme
en (2.30), en prenant pour B la collection des ensembles finis de points
de E.
La comparaison entre les trois types de différentiabilité est maintenant
claire :
(F-diff´ erentiabilit´ e) ⇒ (H-diff´ erentiabilit´ e) ⇒ (G-diff´ erentiabilit´ e).
La H-différentiabilité (et donc la F-différentiabilité) de f en x implique la
continuité de f en x ; ce n’est pas le cas pour la G-différentiabilité. La semicontinuité inférieure n’est pas acquise non plus avec la G-différentiabilité ;
CHAPITRE 2. CONDITIONS D’OPTIMALITÉ APPROCHÉE
(ou ∇ f (x) simplement) et appelé gradient de f en x :
∀ d ∈ H, D F f (x) d = =∇ F f (x), d.
G-différentiabilité. On dit que f est différentiable au sens de R. Gâteaux
(G-différentiable en abrégé) en x lorsque
∀ d ∈ E,
f (x + α d) − f (x)
α
a une limite lorsque α → 0,
et que cette limite (qui dépend de d) est une forme linéaire continue de d :
∀ d ∈ E,
f (x + α d) − f (x)
α
→ →D G f (x), d.
H-différentiabilité. Il y a une différentiabilité intermédiaire, au sens de
J. Hadamard. Une manière de la présenter est comme ceci.
Soit B la famille des compacts de E. On dit que f est différentiable au sens
de J. Hadamard (H-différentiable en abrégé) en x lorsqu’il existe l ∗ ∈ E ∗ ,
noté D H f (x), telle que
lim
α→ 0
f (x + α d) − f (x)
α
= =D H f (x), d uniform´ ement pour d ∈ S,
et ce pour tout S ∈ B.
(2.30)
Cette manière d’exprimer les choses permet une comparaison directe avec
la F-différentiabilité et la G-différentiabilité.
La F-différentiabilité de f en x s’écrit, de manière équivalente, comme
dans la définition (2.30), en prenant pour B la collection des fermés bornés de E.
La G-différentiabilité de f en x s’écrit, de manière équivalente, comme
en (2.30), en prenant pour B la collection des ensembles finis de points
de E.
La comparaison entre les trois types de différentiabilité est maintenant
claire :
(F-diff´ erentiabilit´ e) ⇒ (H-diff´ erentiabilit´ e) ⇒ (G-diff´ erentiabilit´ e).
La H-différentiabilité (et donc la F-différentiabilité) de f en x implique la
continuité de f en x ; ce n’est pas le cas pour la G-différentiabilité. La semicontinuité inférieure n’est pas acquise non plus avec la G-différentiabilité ;