3. PROLONGEMENTS POSSIBLES
53
3 Prolongements possibles
Les principes variationnels par perturbations de la fonction originelle à
minimiser ne s’arrêtent pas à ceux exposés aux § 1 et 2. Un exemple
additionnel est le principe variationnel de C. Stegall (1978) ; son énoncé
étant simple, donnons-le.
Soit S ⊂ H fermé borné (non vide), soit f : H → R ∪ {+∞}, finie en
au moins un point de S, semicontinue inférieurement sur H , et bornée
inférieurement sur S. Alors, pour un ensemble dense de points a de H , le
problème de la minimisation de (la fonction perturbée) x → f (x) − −a, x
sur S a une et une seule solution.
Nous ne faisons que signaler l’existence d’un autre principe variationnel
(du même acabit) dans des espaces de Banach (d’un certain type), c’est
celui de Deville, Godefroy et Zizler [DGZ]. Traiter de tous ces principes
variationnels occuperait presque tout le Cours... Ce n’est pas notre objectif :
les principes variationnels de ce chapitre sont des outils dont chacun pourra
se servir dans le contexte d’application qui est le sien.
Annexe
On rappelle dans cette annexe les trois types de différentiabilité utilisées en
analyse et calcul variationnel, dans le contexte des fonctions numériques
seulement.
Soit donc (E, ·) espace de Banach et f : E → R ∪ {+∞} finie dans un
voisinage de x.
F-différentiabilité. C’est la différentielle usuelle, telle qu’étudiée en L3.
On dit que f est différentiable au sens de M. Fréchet (F-différentiable en
abrégé) en x s’il existe l ∗ ∈ E ∗ telle que
f (x + u) − f (x) − −l ∗ , u
u
→ 0 quand u = 0 → 0
ou encore : f (x + u) = f (x) + +l
∗
, u + o(u)
l ∗ , noté D F f (x) ou simplement D f (x), est un élément de E ∗ .
Si l’espace source de f est un espace de Hilbert (H, ·, ··), la forme linéaire
continue D F f (x) est représentée par un élément de H , noté ∇ F f (x)
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3 Prolongements possibles
Les principes variationnels par perturbations de la fonction originelle à
minimiser ne s’arrêtent pas à ceux exposés aux § 1 et 2. Un exemple
additionnel est le principe variationnel de C. Stegall (1978) ; son énoncé
étant simple, donnons-le.
Soit S ⊂ H fermé borné (non vide), soit f : H → R ∪ {+∞}, finie en
au moins un point de S, semicontinue inférieurement sur H , et bornée
inférieurement sur S. Alors, pour un ensemble dense de points a de H , le
problème de la minimisation de (la fonction perturbée) x → f (x) − −a, x
sur S a une et une seule solution.
Nous ne faisons que signaler l’existence d’un autre principe variationnel
(du même acabit) dans des espaces de Banach (d’un certain type), c’est
celui de Deville, Godefroy et Zizler [DGZ]. Traiter de tous ces principes
variationnels occuperait presque tout le Cours... Ce n’est pas notre objectif :
les principes variationnels de ce chapitre sont des outils dont chacun pourra
se servir dans le contexte d’application qui est le sien.
Annexe
On rappelle dans cette annexe les trois types de différentiabilité utilisées en
analyse et calcul variationnel, dans le contexte des fonctions numériques
seulement.
Soit donc (E, ·) espace de Banach et f : E → R ∪ {+∞} finie dans un
voisinage de x.
F-différentiabilité. C’est la différentielle usuelle, telle qu’étudiée en L3.
On dit que f est différentiable au sens de M. Fréchet (F-différentiable en
abrégé) en x s’il existe l ∗ ∈ E ∗ telle que
f (x + u) − f (x) − −l ∗ , u
u
→ 0 quand u = 0 → 0
ou encore : f (x + u) = f (x) + +l
∗
, u + o(u)
l ∗ , noté D F f (x) ou simplement D f (x), est un élément de E ∗ .
Si l’espace source de f est un espace de Hilbert (H, ·, ··), la forme linéaire
continue D F f (x) est représentée par un élément de H , noté ∇ F f (x)