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CHAPITRE 2. CONDITIONS D’OPTIMALITÉ APPROCHÉE
l’inégalité de caractérisation (2.20)).
Ensuite,
˜ z − z =
v +
z − v + ε(w − v)
1 + ε
=
1 −
1
1 + ε
(v − z) +
ε
1 + ε
(w − v)
≤ ε v − z + w − v
≤ ε
v − c 0 + c 0 − z + w − v
≤ ε
1 + (d S (z) + 1) + 1
(cf. (2.27) et (α))
≤ ε
3 + d S (z)
≤ η.
En somme, on a trouvé ˜
z tel que : ˜ z − z ≤ η et v ∈ P S (˜ z).
(ii) À partir du moment où P S (z) = ∅, z /
∈ S, on sait que pour z t = z + t (z −
z), t ∈ ]0, 1], z ∈ P S (z), P S (z t ) = {z} (cf. la 1 ère remarque dans la page
46). On peut donc prendre z t aussi proche de z que voulu. Le résultat de
densité annoncé s’ensuit.
Quand on projette x /
∈ S sur S, quels points de Fr S touche-t-on ? En fait,
"presque tous" : "presque tout point de Fr S est le projeté de quelqu’un".
En termes mathématiques, cela donne le théorème suivant.
Théorème 2.14 On a :
P S (S
c
) := {x ∈ P S (x), x /
∈ S} est une partie dense de Fr S.
Démonstration. Soit x f ∈ Fr S et η > 0. Le résultat du théorème précédent nous permet d’affirmer qu’il existe x /
∈ S tel que :
x f − x
≤
η
2
et P S (x) = ∅. Ainsi, tout point x de P S (x) est dans {x ∈ P S (x), x /
∈ S}
bien sûr, et
x − x f
≤ x − x +
x − x f
≤ 2
x − x f
≤ η.
Le résultat de densité annoncé est ainsi démontré.
Retenons la portée générale des deux théorèmes de densité démontrés dans
ce § 2.2.4 : H est un espace de Hilbert et S est un fermé quelconque de H !