2. PRINCIPE VARIATIONNEL DE BORWEIN-PREISS
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∀ x ∈ H, f (x) := x − z
2
+ i S (x).
La fonction f est s.c.i. sur H (somme d’une fonction continue et d’une
fonction s.c.i.), minorée sur H par 0. En fait, inf
H
f = d 2
S (z).
Par construction (cf. (2.27)), c 0 est un minimiseur à ε près de f sur H .
D’après le théorème de Borwein-Preiss, appliqué avec le choix de λ = 1,
il existe v et w ∈ H tels que :
(α) v − c 0 < 1, w − v < 1
(β) v ∈ S et est un minimiseur de x → f (x) + ε x − w
2 sur H .
Explicitons ce que dit (β) :
v − z
2
+ ε v − w
2
≤ c − z
2
+ ε c − w
2 pour tout c ∈ S,
ce qui est la même chose que
v − z
2
− c − z
2
≤ ε
c − w
2
− v − w
2
pour tout c ∈ S.
(2.28)
Or
v − z
2
− c − z
2
= v − z
2
− c − v + v − z
2
= − c − v
2
+ 2 v − z, c − v,
c − w
2
− v − w
2
= c − v + v − w
2
− v − w
2
= c − v
2
+ 2 c − v, v − w.
Ainsi, (2.28) devient :
−
2 v − z, c − v + c − v
2
≤ ε
2 v − w, c − v + c − v
2
,
d’où
2 z − v + ε(w − v), c − v ≤ (1 + ε) c − v
2
;
z − v + ε(w − v)
1 + ε
, c − v ≤
1
2
c − v
2
.
(2.29)
En définissant ˜
z := v +
z − v + ε(w − v)
1 + ε
, on s’assure (d’après (2.29))
que
˜ z − v, c − v ≤
1
2
c − v
2
,
et ce pour tout c ∈ S. Or ceci est précisément la caractérisation du fait
que v, dont on sait déjà qu’il est dans S, est un élément de P S (˜ z) (cf.