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CHAPITRE 2. CONDITIONS D’OPTIMALITÉ APPROCHÉE
Fig. 2.1 Champ de gradients de d S , pointant toujours vers S.
× : points de non-différentiabilité de d S
Fig. 2.2 Champ de gradients de la fonctiondistance signée S
Théorème 2.13 On a :
(i) {x ∈ H | P S (x) = ∅} est dense dans H
(ii) {x ∈ H , P S (x) est un singleton} est dense dans H .
Démonstration.
(i) Soit z /
∈ S et η > 0 ; il s’agit de trouver ˜
z tel que : z − ˜
z ≤ η et P S (˜ z) =
∅.
Fixons ε > 0 tel que ε [d S (z) + 3] < η... choix bizarre, mais nous verrons
pourquoi il a été fait.
Prenons c 0 ∈ S tel que
et
c 0 − z
2
< d 2
S (z) + ε
c 0 − z < d S (z) + 1.
(2.27)
(c’est tout à fait possible, il suffit de penser à la définition de d S (z)).
Nous allons appliquer le théorème de Borwein- Preiss à la function
f : H → R ∪ {+∞} que voici :
CHAPITRE 2. CONDITIONS D’OPTIMALITÉ APPROCHÉE
Fig. 2.1 Champ de gradients de d S , pointant toujours vers S.
× : points de non-différentiabilité de d S
Fig. 2.2 Champ de gradients de la fonctiondistance signée S
Théorème 2.13 On a :
(i) {x ∈ H | P S (x) = ∅} est dense dans H
(ii) {x ∈ H , P S (x) est un singleton} est dense dans H .
Démonstration.
(i) Soit z /
∈ S et η > 0 ; il s’agit de trouver ˜
z tel que : z − ˜
z ≤ η et P S (˜ z) =
∅.
Fixons ε > 0 tel que ε [d S (z) + 3] < η... choix bizarre, mais nous verrons
pourquoi il a été fait.
Prenons c 0 ∈ S tel que
et
c 0 − z
2
< d 2
S (z) + ε
c 0 − z < d S (z) + 1.
(2.27)
(c’est tout à fait possible, il suffit de penser à la définition de d S (z)).
Nous allons appliquer le théorème de Borwein- Preiss à la function
f : H → R ∪ {+∞} que voici :