2. PRINCIPE VARIATIONNEL DE BORWEIN-PREISS
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∇d S (x), x − x ≤ − x − x .
(2.26)
Par la propriété de 1-Lipschitz sur H de d S , on sait que ∇d S (x) ≤
1 nécessairement (on est d’accord ?). Il résulte donc de l’inégalité de
Cauchy-Schwarz et de (2.26) :
∇d S (x),
x − x
x − x
= −1.
Ceci impose que ∇d S (x) = 1. On est donc dans le cas d’égalité de
l’inégalité de Cauchy-Schwarz, ce qui donne
∇d S (x) = −
x − x
x − x
=
x − x
d S (x)
.
Le vecteur (unitaire) ∇d S (x) ne peut pointer dans deux directions différentes, il n’y a donc qu’un x dans P S (x) (lorsqu’il y en a).
(ii) La démonstration de la réciproque est laissée sous forme d’exercice.
Remarques.
• La Proposition 2.12 ne dit pas qu’il y a une solution au problème (P x )...
Le test d’existence est le suivant (en présence de différentiabilité de d S en x,
bien sûr) :
Si x := x − d S (x)∇d S (x) ∈ S, (P x ) a pour solution x ; si x /
∈ S, (P x )
n’a pas de solution.
• La différentiabilité des fonctions cousines
1
2 d 2
S et ϕ S est, bien sûr, liée à
celle de d S . Si d S est différentiable en x /
∈ S et que P S (x) = {x}, il en est
de même de
1
2 d 2
S et ϕ S avec
∇
1
2 d 2
S
(x) = x − x,
∇ϕ S (x) = x.
La fonction ϕ S apparaît donc comme une "fonction primitive de la projection sur S" (for whatever it means).
2.2.4 Existence et unicité générique en approximation hilbertienne
Quand (P x ) a-t-il une solution ? Quand (P x ) a-t-il une et une seule solution ? Nous montrons ici que c’est "presque toujours" le cas. Évidemment,
les questions posées concernent les points x /
∈ S.