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CHAPITRE 2. CONDITIONS D’OPTIMALITÉ APPROCHÉE
x − y, y − y ≤
1
2
y − y
2 (choix particulier de c = y ),
x − y , y − y ≤
1
2
y − y
2 (choix particulier de c = y).
Par suite, en additionnant les deux inégalités au-dessus :
x − x
+ y
− y, y
− y ≤
y − y
2 ,
soit
x − x
, y
− y ≤ 0.
2.2.3 Différentiabilité de d S vs. unicité de la projection sur S
Il y a un lien étonnant entre la différentiabilité de d S en x /
∈ S et le fait
que x admette une projection sur S au plus.
Proposition 2.12 Soit x /
∈ S.
(i) Si d S est différentiable en x (au sens de Gâteaux suffit), alors le problème
d’approximation (P x ) a au plus une solution. Si x = p S (x), alors :
∇d S (x) =
x − x
x − x
.
(2.25)
(ii) Réciproque lorsque H est de dimension finie. Si P S (x) est réduit à un
seul élément, alors d S est différentiable en x (au sens de Fréchet même).
Démonstration.
(i) Soit x ∈ P S (x) (if any !). Considérons t ∈ ]0, 1] et formons le quotient
différentiel
q t :=
d S [x + t (x − x)] − d S (x)
t
.
La propriété de 1-Lipschitz sur H de d S fait que :
d S [x + t (x − x)] = d S [x + t (x − x)] − d S (x) ≤ (1 − t) x − x .
Puisque d S (x) = x − x,
q t ≤ − x − x .
Comme d S a été supposée Gâteaux-différentiable en x, un passage à la
limite (t → 0) dans l’inégalité au-dessus conduit à
CHAPITRE 2. CONDITIONS D’OPTIMALITÉ APPROCHÉE
x − y, y − y ≤
1
2
y − y
2 (choix particulier de c = y ),
x − y , y − y ≤
1
2
y − y
2 (choix particulier de c = y).
Par suite, en additionnant les deux inégalités au-dessus :
x − x
+ y
− y, y
− y ≤
y − y
2 ,
soit
x − x
, y
− y ≤ 0.
2.2.3 Différentiabilité de d S vs. unicité de la projection sur S
Il y a un lien étonnant entre la différentiabilité de d S en x /
∈ S et le fait
que x admette une projection sur S au plus.
Proposition 2.12 Soit x /
∈ S.
(i) Si d S est différentiable en x (au sens de Gâteaux suffit), alors le problème
d’approximation (P x ) a au plus une solution. Si x = p S (x), alors :
∇d S (x) =
x − x
x − x
.
(2.25)
(ii) Réciproque lorsque H est de dimension finie. Si P S (x) est réduit à un
seul élément, alors d S est différentiable en x (au sens de Fréchet même).
Démonstration.
(i) Soit x ∈ P S (x) (if any !). Considérons t ∈ ]0, 1] et formons le quotient
différentiel
q t :=
d S [x + t (x − x)] − d S (x)
t
.
La propriété de 1-Lipschitz sur H de d S fait que :
d S [x + t (x − x)] = d S [x + t (x − x)] − d S (x) ≤ (1 − t) x − x .
Puisque d S (x) = x − x,
q t ≤ − x − x .
Comme d S a été supposée Gâteaux-différentiable en x, un passage à la
limite (t → 0) dans l’inégalité au-dessus conduit à