2. PRINCIPE VARIATIONNEL DE BORWEIN-PREISS
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• La caractérisation (2.20) est une sorte d’inéquation variationnelle qui rappelle celle caractérisant le projeté x de x sur S lorsque S est convexe, à
savoir :
x ∈ S et x − x, c − x ≤ 0 pour tout c ∈ S.
(2.23)
Une question qui vient à l’esprit naturellement ici est : Comment se fait-il
que le terme quadratique à droite de l’inégalité (2.20) ait disparu quand S
est convexe ? Voici la réponse. Partons de l’inégalité dans (2.20). Pour un
choix de c ∈ S (convexe), considérons c α := x + α(c − x) avec α ∈ ]0, 1[.
Puisque S est convexe, c α est encore dans S ; il vérifie donc l’inégalité
de (2.20) :
x − x, [x − α(c − x)] − x ≤
1
2
[x + α(c − x)] − x
2
,
soit
x − x, c − x ≤
α
2
c − x
2
.
Un passage à la limite, α → 0, conduit à l’inégalité espérée (2.23).
∗ Propriétés de la multiapplication P S
Elles sont rassemblées dans la proposition suivante.
Proposition 2.11
(i) P S (x) est une partie fermée bornée de S.
(ii) Si x /
∈ S, P S (x) ⊂ Fr S.
(iii) Le graphe de P S , à savoir {(x, y) | y ∈ P S (x)} est fermé dans H × H .
(iv) La multiapplication P S est localement bornée, c’est-à-dire : si B ⊂ H est
borné,
P S (B) := {y ∈ P S (x) | x ∈ B} est born´ e.
(v) P S est une multiapplication monotone (croissante), c’est-à-dire vérifiant :
x, x ∈ H
y ∈ P S (x), y ∈ P S (x )
⇒
y − y
, x − x
≥ 0
.
(2.24)
Démonstration : Les points (i) à (iv) sont faciles à démontrer à partir de
la définition de P S (x) ou de la caractérisation de x ∈ P S (x) (cf. sousparagraphe précédent). Contentons-nous de vérifier (v).
À partir de la caractérisation de y ∈ P S (x), y ∈ P S (x), on a :
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• La caractérisation (2.20) est une sorte d’inéquation variationnelle qui rappelle celle caractérisant le projeté x de x sur S lorsque S est convexe, à
savoir :
x ∈ S et x − x, c − x ≤ 0 pour tout c ∈ S.
(2.23)
Une question qui vient à l’esprit naturellement ici est : Comment se fait-il
que le terme quadratique à droite de l’inégalité (2.20) ait disparu quand S
est convexe ? Voici la réponse. Partons de l’inégalité dans (2.20). Pour un
choix de c ∈ S (convexe), considérons c α := x + α(c − x) avec α ∈ ]0, 1[.
Puisque S est convexe, c α est encore dans S ; il vérifie donc l’inégalité
de (2.20) :
x − x, [x − α(c − x)] − x ≤
1
2
[x + α(c − x)] − x
2
,
soit
x − x, c − x ≤
α
2
c − x
2
.
Un passage à la limite, α → 0, conduit à l’inégalité espérée (2.23).
∗ Propriétés de la multiapplication P S
Elles sont rassemblées dans la proposition suivante.
Proposition 2.11
(i) P S (x) est une partie fermée bornée de S.
(ii) Si x /
∈ S, P S (x) ⊂ Fr S.
(iii) Le graphe de P S , à savoir {(x, y) | y ∈ P S (x)} est fermé dans H × H .
(iv) La multiapplication P S est localement bornée, c’est-à-dire : si B ⊂ H est
borné,
P S (B) := {y ∈ P S (x) | x ∈ B} est born´ e.
(v) P S est une multiapplication monotone (croissante), c’est-à-dire vérifiant :
x, x ∈ H
y ∈ P S (x), y ∈ P S (x )
⇒
y − y
, x − x
≥ 0
.
(2.24)
Démonstration : Les points (i) à (iv) sont faciles à démontrer à partir de
la définition de P S (x) ou de la caractérisation de x ∈ P S (x) (cf. sousparagraphe précédent). Contentons-nous de vérifier (v).
À partir de la caractérisation de y ∈ P S (x), y ∈ P S (x), on a :