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CHAPITRE 2. CONDITIONS D’OPTIMALITÉ APPROCHÉE
On voit sur cette figure que x − x, c − x peut être positif, une chose qu’on
n’a pas lorsque S est convexe.
Démonstration du théorème : On allégera l’écriture en ne répétant pas
"pour tout c ∈ S" dans les assertions.
(i) signifie :
x ∈ S et x − x ≤ x − c pour tout c ∈ S
⇔ x ∈ S et x − x
2
≤ x − c
2
⇔ x ∈ S et x − x
2
≤ x − x
2
+ − c
2
+ 2 x − x, x − c
[utilisant le fait que x − c
2
= x − x + x − c
2 ]
⇔ x ∈ S et 2 x − x, c − x ≤ c − x
2
,
(2.22)
qui n’est autre que (ii).
Par ailleurs, (2.22) est équivalent à :
x ∈ S et 2 x − x, c − x ≤
1
t
c − x
2 pour tout t ∈ ]0, 1]
⇔ x ∈ S et 2 [x + t (x − x)] − x, c − x ≤ c − x
2 pour tout t ∈ ]0, 1] .
Grâce à ce qui a été démontré plus haut, ceci est précisément la caractérisation du fait que x ∈ P S [x + t (x − x)].
Remarques :
• Évidemment, P S (x) = {x} lorsque x ∈ S.
Si x /
∈ S et que x ∈ P S (x), dès lors que t ∈ ]0, 1], x se trouve être l’unique
projeté sur S de x t := x +t (x −x). Cela se "voit" sur la figure de cette mˆ eme
page, et se démontre facilement. Posons α := d S (x). La boule B(x, α) ne
peut rencontrer S qu’à sa frontière (y ∈ S et x − y < α contredit la
définition de α = d S (x)). Donc B(x, α) ∩ S =
Sphère(x, α)
∩ S. Par
suite, B(x t , x t − x) ne rencontre S qu’en x, c’est-à-dire
P S (x t ) = {x} .