2. PRINCIPE VARIATIONNEL DE BORWEIN-PREISS
45
ce qui assure ce qui été annoncé.
• Si x /
∈ S, la fonction d S (ou
1
2 d 2
S ) peut être différentiable en x comme
elle peut ne pas l’être. En tout cas, si d S est différentiable en x,
∇
1
2
d
2
S
(x) = d S (x) ∇d S (x).
(2.19)
En clair :
x /
∈ S | d S est diff´ erentiable en x
=
x /
∈ S | d 2
S est diff´ erentiable en x
,
(d S diff´ erentiable sur S c ) ⇔ (d 2
S diff´ erentiable sur H )
[gr ˆ
àce à ce qui a ´
et´ e signal´ e au point pr´ ec´ edent]
2.2.2 La multiapplication-projection sur S
∗ Caractérisation des éléments de P S (x)
Théorème 2.10 (caractérisation de "x est un projeté de x sur S")
Soit x /
∈ S. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) x ∈ P S (x) (i.e., x ∈ S et x − x = d S (x)) ;
(ii) x ∈ S et
∀ c ∈ S, x − x, c − x ≤
1
2
c − x
2
;
(2.20)
(iii) x ∈ S et
∀ t ∈ ]0, 1] , x ∈ P S [x + t (x − x)] .
(2.21)
Il est assez étonnant qu’on obtienne une caractérisation des solutions de
notre problème (P x )... Avec (2.20) on a une condition nécessaire et suffisante d’optimalité globale dans un problème qui n’est pas convexe ! La
démonstration du théorème est facile, c’est du pur calcul hilbertien sur la
norme (ou plutôt son carré).