44
CHAPITRE 2. CONDITIONS D’OPTIMALITÉ APPROCHÉE
{x ∈ H | d S (x) ≤ 0} = {x ∈ H | d S (x) = 0} = S = (Fr S) ∪ ˚
S.
Il y a une fonction qui fait ça, c’est une cousine de d S , la fonction-distance
signée S , définie comme suit :
S (x) :=
d S (x) si x /
∈ S,
−d S c (x) si x ∈ S.
[S
c est le compl´ ementaire de Sdans H ]
On a supposé implicitement que S, outre le fait de ne pas être vide, n’est
pas tout l’espace H . Sous une forme d’écriture plus ramassée,
S = d S − d S c .
Voici quelques propriétés de la fonction S , qu’on pourra démontrer sous
forme d’exercices :
{x ∈ H | S (x) > 0} = S c ,
{x ∈ H | S (x) = 0} = Fr S,
{x ∈ H | S (x) < 0} = ˚
S, (un petit dessin peut aider à la compréhension
de ces propriétés)
S c = − S (il n’y a pas d’ambiguïté dans la définition puisque d S c = d S c )
S est 1-Lipschitz sur H
S est convexe si et seulement si S est convexe.
∗ Quid de la différentiabilité de d S , de d 2
S ?
• Si x ∈ ˚
S, la question ne se pose pas : d S est nulle dans un voisinage de x,
donc d S est (Fréchet-) différentiable en x et ∇d S (x) = 0.
• Si x ∈ Fr S, la question se pose : d S peut être différentiable en x (essayez
avec un petit dessin dans le plan !), même s’il est plus probable que d S
ne soit pas différentiable en x. En tout cas, si d S est différentiable en x ∈
Fr S, alors ∇d S (x) = 0 nécessairement (ayez un réflexe variationnel ! la
fonction d S est minimisée en x, et d S a été supposée différentiable en x).
Un autre point d’intérêt : la fonction d 2
S est toujours différentiable en x ∈
Fr S (c’est toujours l’effet adoucissant du passage au carré) avec, bien
sûr, ∇d 2
S (x) = 0.
En effet, si x ∈ Fr S, d S (x) = 0, de sorte que
|d S (x + h) + d S (x)| = |d S (x + h) − d S (x)| ≤ h ,
|d S (x + h) − d S (x)| ≤ h ,
grâce à la propriété de d S d’être 1-Lipschitz sur H . Ainsi
|d
2
S (x + h) − d
2
S (x)| ≤ h
2
,
CHAPITRE 2. CONDITIONS D’OPTIMALITÉ APPROCHÉE
{x ∈ H | d S (x) ≤ 0} = {x ∈ H | d S (x) = 0} = S = (Fr S) ∪ ˚
S.
Il y a une fonction qui fait ça, c’est une cousine de d S , la fonction-distance
signée S , définie comme suit :
S (x) :=
d S (x) si x /
∈ S,
−d S c (x) si x ∈ S.
[S
c est le compl´ ementaire de Sdans H ]
On a supposé implicitement que S, outre le fait de ne pas être vide, n’est
pas tout l’espace H . Sous une forme d’écriture plus ramassée,
S = d S − d S c .
Voici quelques propriétés de la fonction S , qu’on pourra démontrer sous
forme d’exercices :
{x ∈ H | S (x) > 0} = S c ,
{x ∈ H | S (x) = 0} = Fr S,
{x ∈ H | S (x) < 0} = ˚
S, (un petit dessin peut aider à la compréhension
de ces propriétés)
S c = − S (il n’y a pas d’ambiguïté dans la définition puisque d S c = d S c )
S est 1-Lipschitz sur H
S est convexe si et seulement si S est convexe.
∗ Quid de la différentiabilité de d S , de d 2
S ?
• Si x ∈ ˚
S, la question ne se pose pas : d S est nulle dans un voisinage de x,
donc d S est (Fréchet-) différentiable en x et ∇d S (x) = 0.
• Si x ∈ Fr S, la question se pose : d S peut être différentiable en x (essayez
avec un petit dessin dans le plan !), même s’il est plus probable que d S
ne soit pas différentiable en x. En tout cas, si d S est différentiable en x ∈
Fr S, alors ∇d S (x) = 0 nécessairement (ayez un réflexe variationnel ! la
fonction d S est minimisée en x, et d S a été supposée différentiable en x).
Un autre point d’intérêt : la fonction d 2
S est toujours différentiable en x ∈
Fr S (c’est toujours l’effet adoucissant du passage au carré) avec, bien
sûr, ∇d 2
S (x) = 0.
En effet, si x ∈ Fr S, d S (x) = 0, de sorte que
|d S (x + h) + d S (x)| = |d S (x + h) − d S (x)| ≤ h ,
|d S (x + h) − d S (x)| ≤ h ,
grâce à la propriété de d S d’être 1-Lipschitz sur H . Ainsi
|d
2
S (x + h) − d
2
S (x)| ≤ h
2
,