2. PRINCIPE VARIATIONNEL DE BORWEIN-PREISS
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∀ u, v ∈ H, |d S (u) − d S (v)| ≤ u − v .
(2.15)
Démonstration : la faire sous forme d’exercice.
C’est une propriété globale assez étonnante car S peut être extrêmement
compliqué comme ensemble...
• Définition "duale" de d S (x), x /
∈ S :
d S (x) = sup
r ≥ 0 | B(x, r ) ∩ S = ∅
(2.16)
où B(x, r ) désigne la boule fermée de centre x et de rayon r . Un petit
dessin aide à la compréhension géométrique de (2.16).
• d S est convexe si et seulement si S est convexe (il en est de même de d 2
S ).
Démonstration : la faire sous forme d’exercice.
• La fonction ϕ S : H → R définie par
ϕ S (x) :=
1
2
x
2
− d
2
S (x)
(2.17)
est toujours convexe.
En voilà une propriété étonnante !... car, ne l’oublions pas, S est un fermé
quelconque ! La démonstration en est facile : il suffit d’exprimer ϕ S comme
le supremum d’une famille de fonctions (clairement) convexes.
Une conséquence est que
x →
1
2
d
2
S (x) =
1
2
x
2
− ϕ S (x)
(2.18)
est (toujours) la différence de deux fonctions convexes, dont une (
1
2 · 2 )
est même convexe C ∞ .
La classe DC(H ) de fonctions "différences-de-convexes" sur H est importante dans les problèmes variationnels non convexes ; on y reviendra abondamment au Chapitre 5.
Retenons de ce paragraphe qu’il y a trois fonctions importantes associées au problème (P x ) :
la fonction-distance d S ;
sa version "adoucie"
1
2 d 2
S (car, élever au carré adoucit les mœurs...) ;
la fonction convexe ϕ S .
La fonction distance d S ne fait pas la différence entre la frontière Fr S de S
et son intérieur ˚
S :